format .pdf, 1.8 MB

IX.38. Să searatecă xn+1
y n + yn+1
z n
+ zn+1
≥ x + y + z, ∀x, y, z > 0, ∀n ∈ N.
xn Gigel Buth, Satu Mare
1
1
2
IX.39. Să se rezolve ecuaţia + q
=
2
q[x] 3 3 3 [x] · [x +1] 3 [x] · [x +2] .
Daniel Jinga, Piteşti
IX.40. Fie M 6= G în planul 4ABC şi D, E, F mijloacele laturilor [BC],
[CA] şi respectiv [AB]. Considerăm punctele X, Y, Z astfel încât XD −−→ = m −−→ XM,
−→
YE= m −−→ YM, −→ ZF = m −−→ ZM, m 6= 1.
a) Dacă m 6= 3 , atunci AX, BY, CZ sunt concurente în S, cu−→ SG = 2m −−→ SM.
2 3
b) Dacă m = 3 , atunci AX, BY, CZ sunt paralele cu GM.
2
Virgil Nicula, Bucureşti
Clasa a X-a
X.36. Să se rezolve inecuaţia a log2 b x + x log b x ≤ a + b, undea, b ∈ (1, ∞).
Daniela Dodan, elevă, Iaşi
X.37. Fie a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞) şi funcţia injectivă f :(0, ∞) → R astfel încât
funcţia g : R → R, g (x) =f (a x )+f (b x ) este constantă. Să searatecă ab =1şi că
există funcţii f care satisfac ipotezele problemei.
Dan Popescu, Suceava
X.38. Fie a, b, c, d ∈ R cu a>b>c>d.Săsearatecă a, b, c, d sunt în progresie
µ 3 a − d
aritmetică dacă şi numai dacă (a − b)(b − c)(c − d) = .
3
A. V. Mihai, Bucureşti
X.39. Fie ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile AB = a,
AD = b, AA 0 = c. Dacă M ∈ IntA 0 B 0 C 0 D 0 ,notăm cu α, β, γ măsurile unghiurilor
pe care AM le face cu AB, AD şi respectiv AA 0 .Săsearatecă
AM < a cos α + b cos β + c cos γ