format .pdf, 1.8 MB

Metode şi procedee de rezolvare a problemelor
de maxim sau de minim
Gheorghe CROITORU 1
Ne propunem în cele ce urmează săprezentăm, prin exemple, o serie de procedee
şi metode prin care pot fi soluţionate problemele de maxim sau de minim. Rezolvarea
pe mai multe căi a unei aceleiaşi probleme va permite cititorului să compară eficienţa
acestora, precum şi să aleagă contextul cel mai potrivit pentru aplicarea uneia sau
alteia dintre ele.
Problema 1.
Să se afle minimul expresiei E (x) =x 2 + a3
x , x ∈ R∗ +,unde
a ∈ R ∗ + este dat.
Soluţia 1. Aplicând inegalitatea mediilor, obţinem că
E (x) = x3 + a 3
=
x
x 3 + a3
2 + a3
2
x
≥
r
3 3 x 3 · a3
2 · a3
2
x
= 3 3√ 2a 2
,
2
egalitatea fiind atinsă atunci când x 3 = a3
2 , i.e. x = √ a 3
2 . Urmeazăcă E min =
= 3 3√ 2a 2
.
2
Soluţia 2. Se ştie că, dacă x, y ∈ R ∗ + şi suma x + y = const, atunci produsul
x m y n (m, n ∈ N ∗ )estemaximpentru x m = y n ;dual,dacă xm y n = const, atunci
suma x + y este minimă pentru x m = y (aceste afirmaţii se extind la un număr finit
n
de termeni / factori şi la cazul în care exponenţii sunt din Q ∗
µ
+).
a
Întrucât x 2 3 2
= a 6 = const, urmează că E (x) are valoare minimă atunci
x
când x 2 = a3
2x ⇔ x = a µ a √ 3
2 .Seobţine E min = E √ = 3 3√ 2a 2
.
3
2 2
Soluţia 3. Fie funcţia f : (0, ∞) → R,
a
f (x) =E (x). Extremele acestei funcţii se pot x 0
3√ ∞
găsi folosind prima derivată. Avem că f 0 (x) =
2
f 0 − − 0 + +
= 2x3 − a 3
f ∞ & E min % ∞
x 2 ,careseanuleazăpentrux = √ a 3
2 .
Tabelul de variaţieesteprezentatalăturat.
Problema 2. Aflaţi valorile extreme ale expresiei E (x) = sin x − 3
cos x +2 , x ∈ R.
(Paul Georgescu, Gabriel Popa, Problema 24739, G.M. 9/2002)
Soluţia 1. Pentru x 6= (2k +1)π, k ∈ Z, notând t =tg x ,obţinem că E =
2
= −3t2 +2t − 3
t 2 , t ∈ R. Pentruaaflamulţimea valorilor lui E,fiey = −3t2 +2t − 3
+3
t 2 ,
+3
t ∈ R, decit 2 (y +3)−2t+(3y +3)=0, unde t ∈ R. Se impune condiţia ∆ ≥ 0, ceea
1 Profesor, Liceul Teoretic ”Al. I. Cuza”, Iaşi
35