format .pdf, 1.8 MB

AM · BN ≤ 4 9 .
Emil Vasile, Ploieşti
Soluţie. Fie x = AM, y = BN, z = PP 0 (unde PP 0 ⊥AB).
Din ipoteză, S ABM +S ABN −S ABP = 1 , prin urmare x+y−z =
2
1. Dar z x + z y = BP 0
AB + P 0 A
AB =1,deciz = xy
x + y ≤ x + y ,
4
unde am ţinut seama de inegalitatea între media armonică şi
cea aritmetică. Rezultă că x + y =1+z ≤ 1+ x + y ,adică
4
x + y ≤ 3 xy
. Pe de altăparte,x + y −
4 x + y = 1 implică
xy =(x + y)(x + y − 1) ≤ 4 3 · 1 ; am folosit faptul evident că x + y>1.
3 = 4 9
ClasaaVIII-a
VIII.26. Demonstraţi că ecuaţia ¡ t 2 +1 ¢ x 2 +4t 2 x+4t 2 − 5=0are numai două
soluţii în Z × Z.
Mihai Crăciun, Paşcani
Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent t 2 (x +2) 2 = t − x 2 . Dacă x = −2, atunci
t − x 2 =0,decit =4.Dacă x ∈ Z\{−2}, atunci t 2 (x +2) 2 ≥ t, iart−x 2 ≤ t. Egalitatea
este atinsă dacă şi numai dacă t = x =0.Înconcluzie,S = {(0, 0) , (−2, 4)}.
VIII.27. Determinaţi a ∈ R ştiind că ecuaţia x 4 − 2x 3 +3x 2 − 2x + a =0are o
singură soluţie reală.
Gabriel Popa, Iaşi
Soluţie. Dacă P (x) este expresia din membrul stâng al ecuaţiei, putem scrie:
P (x) =x 4 − 2x 3 +3x 2 − 2x + a = x 2 (1 − x) 2 − 2x (1 − x)+a
şi de aici se observă că P (x) =P (1 − x), ∀x ∈ R. Cum ecuaţia are o unică soluţie
reală x 0 ,trebuiecax 0 =1− x 0 ,adică x 0 = 1 . Înlocuind, obţinem în mod necesar
2
că a = 7
16 .Dacă a = 7 µx
16 , ecuaţia devine − 1 2 µ
x 2 − x + 7
=0,careadmite
2
4
singura soluţie reală (dublă) x = 1 2 .
VIII.28. Fie a, b numere naturale prime între ele. Aflaţi valorile lui n pentru
care S n = a n + a n−1 b + a n−2 b 2 + ···+ ab n−1 + b n este divizibil cu a + b.
Mihaela Predescu, Piteşti
Soluţie. Dacă n impar, atunci S n are un număr par de termeni şi avem că S n =
(a n + b n )+ ¡ a n−1 b + ab n−1¢ +···=(a + b) ¡ a n−1 − a n−2 b + ···+ b n−1¢ +ab (a + b) ×
× ¡ a n−3 − a n−4 b + ···+ b n−3¢ + ··· =(a + b) A, deci S n
. . a + b. Dacă n este par,
atunci S n = a ¡ a n−1 + a n−2 b + ···+ b n−1¢ + b n şi cum n − 1 impar, paranteza se
.
divide cu a + b. Rezultăcă S . n a + b ⇔ b n a + b; vom arăta că această divizibilitate
este imposibilă încondiţiile date. Avem că (b, a + b) = 1, deoarece dacă d | b şi
d | a + b, atunci d | a şi d | b, adică d | (a, b), decid | 1. Urmeazăcă în descompunerile
58