format .pdf, 1.8 MB

în patrulaterul inscriptibil MBA 1 C,obţinem succesiv:
MA 1 · BC = MB · A 1 C + MC · A 1 B ⇔ MA 1 sin y = MBsin z + MC sin x ⇔
⇔ MA 1
MA = MBsin z MC sin x
+
MAsin y MAsin y .
Scriind relaţiile analoage şi adunându-le, concluzia urmează imediat din faptul că
a + 1 ≥ 2, ∀∈(0, ∞).
a
În cazul particular M = O, obţinem inegalitatea remarcabilă
OA 1 + OB 1 + OC 1 ≥ 6R,
unde R este raza cercului circumscris 4ABC. Să mai observăm că egalitatea este
atinsă în triunghiul echilateral.
L9. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic cu a ≤ b ≤ c şi u, v, w ∈ (0, ∞),
u ≤ v ≤ w. Dacă uGA + vGB + wGC =(u + v + w) R, undeG este centrul de
greutate al triunghiului, iar R este raza cercului circumscris, atunci triunghiul ABC
este echilateral.
Paul Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşi
Soluţie. Fie f : P → R, f (M) =u |z M − z A | + v |z M − z B | + w |z M − z C |.
Deoarece z C = 2z 0 + z H
, din inegalitatea modulului obţinem că f (G) ≤ 2 3
3 f (O)+
+ 1 f (H). Dinipoteză, f (G) =f (O), deci f (H) ≥ f (O). Pedealtă parte, aplicând
3 h
inegalitatea lui Jensen funcţiei concave cos : 0, π i
→ [0, 1], găsim că
2
µ
uA + vB + wC
f (H) =2R (u cos A + v cos B + w cos C) ≤ 2R (u + v + w)cos
.
u + v + w
Din inegalitatea lui Cebâşev, uA + vB + wC ≥ 1 (u + v + w)(A + B + C), deci
3
f (H) ≤ 2R (u + v + w)cos π = f (O). Am obţinut că f (H) =f (O) şi atunci este
3
atinsă egalitatea în inegalităţile Jensen şi Cebâşev, adică 4ABC este echilateral.
L10. a) Fie n ∈ N ∗ , n ≥ 2. Săsearatecăexistă o progresie aritmetică de
numere naturale care nu are nici un termen de forma x n , x ∈ N.
b) Dacă o progresie aritmetică denumerenaturaleconţine un termen de forma
x n , x ∈ N, atuncisăsearatecă progresia conţine o infinitate de termeni de această
formă.
Adrian Zanoschi, Iaşi
Soluţie. a) Sădemonstrăm că progresia aritmetică a k =4k+2, k ∈ N, nuconţine
nici un termen de forma x n , x ∈ N. Într-adevăr, acest fapt rezultă dinobservaţiile:
(4m) n = M 4 , (4m +1) n = M 4 +1, (4m +2) n = M 4 , (4m +3) n = M 4 ± 1, ∀m ∈ N.
b) Fie o progresie de numere naturale cu raţia r care conţine un termen x n , x ∈ N.
Numărul natural (x + r) n este termen al progresiei, deoarece
(x + r) n = x n + nx n−1 r + ···+ r n = x n + ¡ nx n−1 + ···+ r n−1¢ r.
Analog se demonstrează căoricenumăr de forma (x + kr) r , k ∈ N, estetermenal
progresiei.
73