format .pdf, 1.8 MB

Extinderi de inele şi corpuri -
o posibilă lecţie de recapitulare finală
Dumitru GHERMAN 1
Pentru ca recapitularea să aibă eficienţă, trebuie ca în organizarea ei să seţină
de unele principii:
• la recapitulare nu se parcurge din nou întreaga materie;
• trebuie să seurmărească, pe cât este posibil, realizarea unei legături între diversele
ramuri ale matematicii şcolare;
• recapitularea trebuie să aducă elemente noi, probleme care pot fi rezolvate prin
prelucrarea creatoare a cunoştinţelor anterioare;
• se are în vedere stimularea lucrului individual al elevului, folosind bibliografia
indicată deprofesorşi / sau căutând noi surse;
• recapitularea trebuie să ţină contdestructuraşi cerinţele examenelor şcolare.
În cele ce urmează, vom prezenta un proiect didactic pentru o posibilă lecţie de
recapitulare finală laclasaaXII-a. Nunepropunemsă rezolvăm toate problemele
sau să demonstrăm toate teoremele ce vor apărea; majoritatea aparţin fondului clasic
şi poate fi consultată bibliografia.
I. Inelul întregilor pătratici. Fie d un număr întreg liber de pătrate; definim
h√ i n
Z d = x ∈ C | x = m + n √ o
d, m,n∈ Z .
³ h √d i ´
1) Z ;+, · este un subinel al corpului numerelor complexe, chiar domeniu
de integritate.
h √d i
µ m n
2) Z este izomorf cu inelul matricelor de forma
, m, n ∈ Z, în
dn m
raport cu operaţiile h uzuale cu matrice.
√d i h √d i
3) Inelele Z şi Z
0
sunt izomorfe dacă şi numai dacă d = d 0 (se arată
în primul rând că unizomorfismf între cele³ două inele invariază elementeleluiZ şi
√d ´
atunci el este bine determinat de valoarea f ).
h √d i
4) Subinelele unitare ale lui Z sunt de forma
n
A n = a + bn √ o
d | a, b ∈ Z , n ∈ N.
h √d i ³
5) Definim aplicaţia normă N : Z → Z, N m + n √ ´
d = m 2 − dn 2 .Dacă
notăm cu ¯x = m − n √ d conjugatul întregului pătratic x = m + n √ d ,searatăcă N
are proprietăţi ³ hasemănătoare modulului: N (x) =x · ¯x, N (xy) =N (x) · N (y). De
√d i´
aici, x ∈ U Z ⇔ N (x) ∈ U (Z) ={±1}.
6) Grupul multiplicativ al elementelor inversabile din Z [i] este U (Z [i]) = {±1, ±i}.
1 Profesor, Liceul Teoretic ”Mihail Sadoveanu”, Paşcani
32