Partea a doua a afirmaţiei b) rezultă din faptul că Q n (x) > 0 pentru x > 0, Q n (−2) Q n (−1) < 0 şi funcţia x → Q n (x) este strict crescătoare pentru x 0. Prin urmare, x n+1 − x n → {α} > 0. Absurd. L16. a) Fie a0. Presupunem că ∃α >0 astfel încât f nu-i identic nulă pe[0,α], adică avemM>0, unde M = f (x). Cu teorema creşterilor finite obţinem: sup x∈[0,α] ∀x ∈ [0,α] are loc relaţia f (x) =xf 0 (c), unde c ∈ (0,x); decif (x) =x |f 0 (c)| ≤ 76
≤ xA |f n (c)| ≤ αAM, ∀x ∈ [0,α]. Ca urmare, f (x) ≤ αAM, ∀x ∈ [0,α], de unde M ≤ αAM sau αA ≥ 1. Fie ∆ =(0,α 1 ,α 2 ,...,α m−1 ,α) o diviziune a intervalului [0,α] cu A k∆k < 1 (∗). Dacă f nu-i identic nulă pe[0,α 1 ], atunci M 1 = sup x∈[0,α 1 ] f (x) > 0 şi ca mai sus obţinem f (x) ≤ α 1 AM 1 , ∀x ∈ [0,α 1 ]; deducem că M 1 ≤ α 1 AM 1 ,adică α 1 A ≥ 1, ceea ce contrazice (∗). Înconcluzief este identic nulă pe[0,α 1 ]. În particular, avem f (α 1 )=0şi cu intervalul [α 1 ,α 2 ] procedăm la fel ca şi cu [0,α 1 ] etc. După unnumăr finit de paşi, deducem că f este identic nulă pe întregul interval [0,α]. Presupunerea iniţială făcută estefalsă. În concluzie, f este identic nulă pe [0, ∞). L18. Fie A ∈ M n (Z), n ∈ N, n ≥ 2 astfel încât I n + sA este inversabilă şi (I n + sA) −1 ∈ M n (Z) pentru orice s ∈ {1, 2,...,n} . a) Să searatecă I n + kA este inversabilă pentru orice k ∈ Z şi (I n + kA) −1 ∈ ∈ M n (Z); b) Dacă A 2 = O n ,săsearatecă G = {I n + kA; k ∈ Z} este grup în raport cu înmulţirea matricelor şi să se determine toate subgrupurile lui G. Marian Ionescu, Piteşti Soluţie. a) Se arată uşor afirmaţia: C ∈ M n (Z) este inversabilă înM n (Z) ⇔ ⇔ det C = ±1. Fie P (x) =det(I n + xA), grad P ≤ n, P ∈ Z (X). Pentru orice s ∈ {0, 1, 2,...,2n}, avem: C s = I n + sA este inversabilă înM n (Z) ⇔ det C s = = ±1 ⇔ P (s) =±1. Prin urmare, există cel puţin n +1 numere s în care P ia valoare 1 sau cel puţin n +1numere s în care P este −1. Considerăm că există u 1 ,u 2 ,...,u n+1 ∈ {0, 1, 2,...,2n} astfel încât P (u 1 ) = = P (u 2 )=··· = P (u n+1 )=1;analogseprocedează în celălalt caz. Polinomul Q (X) =P (X) − 1, de grad cel mult n, seanuleazăpentrun+1 valori distincte, deci Q =0şi P =1. Rezultă că det (I n + kA) =1, ∀k ∈ Z şi, în consecinţă, concluzia dorită. b) Dacă C s = I n + sA, C t = I n + tA, s, t ∈ Z, atunci, în ipotezele problemei, C s C t = C s+t . Se verifică uşor că G este grup în raport cu înmulţirea matricelor şi că (G, ·) ' (Z, +) prin f : Z → G, f (k) =I n + kA. Deoarce subgrupurile lui (Z, +) sunt de forma H = mZ, m ≥ 0, rezultăcă subgrupurile lui (G, ·) au forma {I n + mkA; k ∈ Z} cu m ∈ N. L19. Fie H un subgrup al grupului altern (A 2002 , ◦). Dacă µ 1 2 ... 1999 2000 2001 2002 ρ = ∈ H 1 2 ... 1999 2001 2002 2000 şi σ ◦ ρ ◦ σ −1 ∈ H, ∀σ ∈ A 2002 ,săsearatecă H = A 2002 . Lucian-Georges Lăduncă, Iaşi Soluţie. Se ştie că grupul altern (A n , ◦), n ≥ 3, este generat de cicluri de lungime 3. Pentru a demonstra că H = A 2002 este suficient săarătăm că orice astfel de ciclu se află înH. µ Pentru aceasta, fie (α, β, γ) un 3-ciclu oarecare (α, β, γ ∈ {1, 2,...,2002}). ... a ... b ... 2000 2001 2002 Fie σ = ... a 0 ... b 0 , unde a, b, a ... α β γ 0 ,b 0 sunt alese astfel încât σ ∈ A 2002 . Se constată că (α, β, γ) =σ ◦ ρ ◦ σ −1 ∈ H. 77
- Page 1 and 2:
Recreaţii ştiinţifice - „cea
- Page 3 and 4:
destul de ingenioase". Nu ne propun
- Page 5 and 6:
Foşti rezolvitori ai "Recreaţiilo
- Page 7 and 8:
Câteva curbe celebre şi important
- Page 9 and 10:
Ecvaţia (3) fiind rezolvită înpr
- Page 12 and 13:
...;totuşi, numerele exprimând mi
- Page 14 and 15:
Finsler speciale” se referă la c
- Page 16 and 17:
p un asemenea divizor. Rezultă că
- Page 18 and 19:
Pentru x = ky, y ∈ Z vom avea: F
- Page 20 and 21:
Patrulater inscriptibil: 19 5 , 4 5
- Page 22 and 23:
Pentagon: 3, 1 2 , 2√ 5, 1 2 ,
- Page 24 and 25:
particulare: trapeze ş. a.) 2) În
- Page 26 and 27: Demonstraţie. Vom demonstra afirma
- Page 28 and 29: Asupra unei probleme de construcţi
- Page 30 and 31: Câteva aplicaţii ale teoremei lui
- Page 32 and 33: Extinderi de inele şi corpuri - o
- Page 34 and 35: ³ √d´ 4) Din puncte de vedere g
- Page 36 and 37: " # ce conduce la y ∈ −2 − 2
- Page 38 and 39: Comentarii asupra unui exerciţiu D
- Page 40 and 41: Demonstraţie. Din xy = p (x + y +
- Page 42 and 43: Conform inegalităţii C-B, avem: (
- Page 44 and 45: ) Să searatecădacă toate rădăc
- Page 46 and 47: Fac. de Electronică şi Telecomuni
- Page 48 and 49: a) (x, y) ∈ {(−2, 3) , (−3, 2
- Page 50 and 51: BC = 4 cm şi AD = 3 cm. Măsura un
- Page 52 and 53: Soluţiile problemelor propuse în
- Page 54 and 55: cifrele a,b,c,...,g sunt distincte,
- Page 56 and 57: Soluţie. Plecând de la identitate
- Page 58 and 59: AM · BN ≤ 4 9 . Emil Vasile, Plo
- Page 60 and 61: {x} ≥ 0. Atuncix = n + a n , n
- Page 62 and 63: Deoarece funcţia f (t) = t (2 t
- Page 64 and 65: XI.29. Să searatecă lim n→∞ n
- Page 66 and 67: XII.29. Fie f : R → R ofuncţie c
- Page 68 and 69: permise, aşezând în mod repetat
- Page 70 and 71: G17. Fie ABCD un patrulater convex
- Page 72 and 73: Soluţie. Din relaţia dată înipo
- Page 74 and 75: L11. Să se rezolve în N ∗ ecua
- Page 78 and 79: L20. Fie a ∈ R, a>1. Se consider
- Page 80 and 81: utilizând două greutăţi, una de
- Page 82 and 83: IX.38. Să searatecă xn+1 y n + yn
- Page 84 and 85: Probleme pentru pregătirea concurs
- Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BOTOŞANI Şc
- Page 88: IMPORTANT • În scopul unei legă
Change language