format .pdf, 1.8 MB

Câteva aplicaţii ale teoremei lui Casey
Marius PACHI ŢARIU 1
O generalizare remarcabilă ateoremei lui Ptolemeu este teorema lui Casey. Se
numeşte distanţă tangenţială dintre cercurile C 1 şi C 2 , notată d 12 , lungimea tangentei
lor comune exterioare.
Teorema lui Casey. Dacă cercurile C 1 , C 2 , C 3 , C 4 sunt tangente (toate interior
sau toate exterior) la cercul C, ordinea punctelor de tangenţă fiind dată de
numerotarea acestor cercuri, atunci are loc relaţia:
d 12 · d 34 + d 23 · d 41 = d 13 · d 24 .
Rezultatul rămâne adevărat dacă cercurileC i (toate sau o parte din ele) degenerează
în puncte sau dacă cercul C devine dreaptă.
Aplicaţia 1. Fie ABC un triunghi înscris în cercul C şi cercurile C 1 , C 2 , C 3
tangente la C interior precum şi laturilor (BC), (CA) şi respectiv (AB) astfel încât
A şi C 1 , B şi C 2 , C şi C 3 să fie de părţi diferite faţă deBC, CA, respectiv AB.
Notăm cu l 1 ,l 2 ,l 3 lungimile tangentelor din A, B, C la cercurile C 1 , C 2 , respectiv C 3 .
Are loc echivalenţa:
d 12 = d 23 = d 31 ⇔ l 1 = b + c
2 ,l 2 = c + a
2 ,l 3 = a + b
2 .
Soluţie. Observăm mai întâi că C 1 , C 2 , C 3 sunt tangente
la laturi în mijlocul acestora. Aplicând teorema lui Casey
pentru cercurile C şi A, C 2 , C 1 , C 3 ; C şi B, C 3 , C 2 , C 1 ; C şi
C, C 1 , C 3 , C 2 ,obţinem:
b
B
C 2
2 d 13+ c 2 d c
12 =l 1 d 23 ,
2 d 12+ a 2 d a
23 =l 2 d 13 ,
2 d 23+ b 2 d 13 =l 3 d 12 .
Din acestea, rezultă imediat implicaţia "⇒". Invers, după
C 1
C
înlocuirea lui l 1 cu b + c etc., aceste relaţii se scriu:
2
b (d 13 −d 23 )=c (d 23 −d 12 ) ,c(d 12 −d 13 )=a (d 13 −d 23 ) ,a(d 23 −d 12 )=b (d 12 −d 13 ) ,
d 12 − d 13
i.e. = d 23 − d 12
= d 13 − d 23 0
=
a
b
c a + b + c
(suma numărătorilor fiind nulă). Deducem că d 12 −d 13 =0, d 23 −d 12 =0, d 13 −d 23 =0,
deci d 12 = d 23 = d 31 , q.e.d.
Aplicaţia 2. Fie ABC un triunghi înscris în cercul C şi cu m( A)=60 b ◦ . Fie
C 0 (O 0 ,R 0 ) cercul tangent la C interior şi la laturile [AB] şi [AC]. Săsearatecă
R 0 = 4 r,under este raza cercului înscris în triunghiul dat.
A
3
Soluţie. Fie {X}=AB ∩C 0 , {Y }=AC ∩C 0 şi l = AX =
C
= AY = XY (4AXY este echilateral, căci m( A)=60 b ◦ ).
C ’
X
Relativ la C şi cercurile A, C, C 0 , B aplicăm teorema lui
Y
Casey:
O '
b (c − l)+c (b − l) =al,
B
C
1 Elev, cl. a IX-a, Colegiul Naţional, Iaşi
30
C 3
A
C