format .pdf, 1.8 MB

ceea ce însemnează că originea este un punct duplu; apoidacăformăm ecvaţia tangentelor
în acest punct găsim y 2 =0;adică tangentele în acest punct se confundă cuaxa
de x. Aşadar, originea este un punct duplu de înapoiere şi de întăia specie, căci curba
este de o parte şidealtaatangentei.
Cisoida admite o asimptotă paralelăcuaxadey, căci ştim că aceste asimptote se
capătă egalând cu zero coeficienţii celei mai înalte puteri a lui y, ceeacedă 2R − x =0,
de unde x =2R, adicătangentalacerculTT 0 este asimptotă Cisoidei.
Asimptote neparalele cu axele nu sînt.
Cercul dat este numit cercul director al Cisoidei.
M
T
H
O R D L
Newton adatCisoideiurmătoarea descripţie mecanică.
Fie un punct fix A şi o dreaptă fixă TT 0 ;
din A se duce perpendiculara AD pe dreapta
fixă; apoi se imaginează ununghidreptcare
se mişcă astfelcă una din laturile lui trece prin
punctul A, iar extremitatea celeilalte laturi, - A
luată egală cu AD -, se razimă pe dreapta
fixă; dacă G este vârful unghiului drept şi H
extremitatea laturii a doua, punctul M din
mijlocul laturii GH descrie Cisoida.
Să luăm mijlocul O al dreptei AD şi din punctul
D ca centru cu DO ca rază să descriem un cerc; să unimAH, apoiOM, M fiind
mijlocul laturii GH.
Vom demonstra mai întâi că drepteleAH şi OM sînt paralele între ele. În adevăr,
triunghiurile dreptunghe AGH şi ADH sînt egale căci AH = AH, apoiGH = AD
conform enunciului. De aici rezultă AG = DH şi fiindcă unghiurile ARG şi HRD sînt
egale ca opuse la vârf, apoi rezultă că şi triunghiurile dreptunghe AGR şi HDR sînt
egale între ele.
Din egalitatea acestor două dinurmă triunghiuri rezultă GR = RD şi fiindcă OD =
= GM, apoimairezultă OR = RM şi AO = HM şi prin urmare dreptele AH şi OM
sînt paralele.
Fiindcă punctul O este mijlocul dreptei AO, din paralelismul acestor drepte, urmează
că OM taie pe HD într-un punct care-i la mijlocul dreptei HD.
Să arătăm acum că triunghiurile HIM şi DIM sînt egale; în adevăr, avem mai întâi
HM = DO = DN; apoiungh.NID = ungh.HIM; peurmă succesiv ungh.DNI =
= ungh.MOR = ungh.HAD = ungh.AHG = ungh.HMI, aşadar IM = IN şi
fiindcă OI = IK,apoirezultă IM = IN şi prin urmare OM = NK.
Aşadar, în mişcarea unghiului drept AGH, punctul M descrie o Cisoidă alcărei cerc
director este acel descris din D ca centru cu DO ca rază.
Cisoida a fost imaginată deDiocles (500 a. Ch.) pentru a rezolvi problema a două
medii proporţionale 1 .Iatăcumserezolveşte această problemă.
1 Sublinierele din această frazănuaparşi în textul original.
8
G
T ′
I
N
K