format .pdf, 1.8 MB

More documents

Recommendations

Info

Comentarii asupra unui exerciţiu Dan PLĂEŞU 1 Exerciţiu. Fienumerelenaturalenenulea, b. Să se demonstreze echivalenţa: 19 | (5a +4b) ⇔ 19 | (9a +11b) . Soluţie (tip ”culegere”). 1) 19 | (5a +4b) ⇒ 19 | 11 (5a +4b) ⇒ 19 | (55a +44b) ⇒ 19 | [19a +4(9a +11b)] ⇒ 19 | 4(9a +11b) (19,4)=1 ⇒ 19 | (9a +11b) . 2) 19 | (9a +11b) ⇒ 19 | 5(9a +11b) ⇒ 19 | (45a +55b) ⇒ 19 | [19b +9(5a +4b)] ⇒ 19 | 9(5a +4b) (19,9)=1 ⇒ 19 | (5a +4b) . Comentariu metodic Se poate pune, firesc, întrebarea: prin care raţionament s-a ajuns la concluzia că expresia 5a +4b trebuie înmulţită cu11, iar9a +11b cu 5? Prezentăm în cele ce urmează un punct de vedere în această privinţă. Determinăm numerele naturale n, x, y, x 6= 0astfel încât să avem: n (5a +4b) =19(xa + yb)+z (9a +11b) . Comparând coeficienţii lui a şi b obţinem: ½ 19x +9z =5n 19y +11z =4n . Înmulţind prima relaţie cu 4 şi a doua cu 5 şi scăzând membru cu membru, obţinem 76x − 95y =19z, de unde, prin înpărţirea la 19, rezultă: 4x − 5y = z. Dăm lui x şi y acele valori pentru care expresia x+y +z este minimă şi z 6= 0.(Minimalitatea expresiei precedente nu este necesară ci recomandată pentru simplificarea calculelor!). Astfel, considerând x =1, y =0obţinem z =4.Rezultă n =11şi, deci, egalitatea: 11 (5a +4b) =19a +4(9a +11b) . În mod analog, pentru demonstrarea implicaţiei reciproce, determinăm numerele naturale n, x, y, z 6= 0astfel încât să avem: n (9a +11b) =19(xa + yb)+z (5a +4b) . Efectuând calculele, se obţine z = −11x +9y. Rezultă, luând x =0, y =1,că z =9 şi n =5. Deci, avem: 5(9a +11b) =19b +9(5a +4b) . Observaţie. Raţionamentele sunt valabile şi pentru numere întregi! În încheiere, propunem cititorilor demonstrarea următoarelor echivalenţe: 1) 11 | (2a +5b) ⇔ 11 | (3a +2b) , 2) 23 | (2a +3b) ⇔ 23 | (9a +2b) , 3) 19 | (11a +2b) ⇔ 19 | (18a +5b) . 1 Profesor, Şcoala Normală ”Vasile Lupu”, Iaşi 38
Câteva probleme privind triplete pitagoreice Mircea CRÂŞMĂREANU 1 Subiectul ”triplete pitagoreice” are o istorie bogată, fiindu-i dedicate zeci de articole (a se vedea în acest sens capitolul IV din [2], unde la pagina 189 sunt citate şi câteva tabele cu astfel de triplete). Definiţie. Tripletuldenumerenaturalenenule(x, y, z) cu max (x, y)
Page 1 and 2: Recreaţii ştiinţifice - „cea
Page 3 and 4: destul de ingenioase". Nu ne propun
Page 5 and 6: Foşti rezolvitori ai "Recreaţiilo
Page 7 and 8: Câteva curbe celebre şi important
Page 9 and 10: Ecvaţia (3) fiind rezolvită înpr
Page 12 and 13: ...;totuşi, numerele exprimând mi
Page 14 and 15: Finsler speciale” se referă la c
Page 16 and 17: p un asemenea divizor. Rezultă că
Page 18 and 19: Pentru x = ky, y ∈ Z vom avea: F
Page 20 and 21: Patrulater inscriptibil: 19 5 , 4 5
Page 22 and 23: Pentagon: 3, 1 2 , 2√ 5, 1 2 ,
Page 24 and 25: particulare: trapeze ş. a.) 2) În
Page 26 and 27: Demonstraţie. Vom demonstra afirma
Page 28 and 29: Asupra unei probleme de construcţi
Page 30 and 31: Câteva aplicaţii ale teoremei lui
Page 32 and 33: Extinderi de inele şi corpuri - o
Page 34 and 35: ³ √d´ 4) Din puncte de vedere g
Page 36 and 37: " # ce conduce la y ∈ −2 − 2
Page 40 and 41: Demonstraţie. Din xy = p (x + y +
Page 42 and 43: Conform inegalităţii C-B, avem: (
Page 44 and 45: ) Să searatecădacă toate rădăc
Page 46 and 47: Fac. de Electronică şi Telecomuni
Page 48 and 49: a) (x, y) ∈ {(−2, 3) , (−3, 2
Page 50 and 51: BC = 4 cm şi AD = 3 cm. Măsura un
Page 52 and 53: Soluţiile problemelor propuse în
Page 54 and 55: cifrele a,b,c,...,g sunt distincte,
Page 56 and 57: Soluţie. Plecând de la identitate
Page 58 and 59: AM · BN ≤ 4 9 . Emil Vasile, Plo
Page 60 and 61: {x} ≥ 0. Atuncix = n + a n , n
Page 62 and 63: Deoarece funcţia f (t) = t (2 t
Page 64 and 65: XI.29. Să searatecă lim n→∞ n
Page 66 and 67: XII.29. Fie f : R → R ofuncţie c
Page 68 and 69: permise, aşezând în mod repetat
Page 70 and 71: G17. Fie ABCD un patrulater convex
Page 72 and 73: Soluţie. Din relaţia dată înipo
Page 74 and 75: L11. Să se rezolve în N ∗ ecua
Page 76 and 77: Partea a doua a afirmaţiei b) rezu
Page 78 and 79: L20. Fie a ∈ R, a>1. Se consider
Page 80 and 81: utilizând două greutăţi, una de
Page 82 and 83: IX.38. Să searatecă xn+1 y n + yn
Page 84 and 85: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BOTOŞANI Şc
Page 88:
IMPORTANT • În scopul unei legă
show all

format .pdf, 1.8 MB

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?