format .pdf, 1.8 MB

Câteva aplicaţii ale inegalităţii Cauchy-Buniakowski
Ioana CRĂCIUN şi Gheorghe CRĂCIUN 1
Dacă a 1 ,a 2 ,...a n şi b 1 ,b 2 ,...b n sunt numere reale, n ∈ N, n ≥ 2, atunciareloc
inegalitatea Cauchy-Buniakowski:
(a 1 b 1 + a 2 b 2 + ···+ a n b n ) 2 ≤ ¡ a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 n¢¡
b
2
1 + b 2 2 + ···+ b 2 n¢
,
cu egalitate dacă şi numai dacă a 1
= a 2
= ···= a n
sau a i = b i =0, i = 1,n.
b 1 b 2 b n
Demonstraţie. Notăm S ¡ a 2¢ P
= n a 2 k , S (ab) = P n a k b k .Avem:
k=1
k=1
0 ≤ (a i b j − a j b i ) 2 = a 2 i b 2 j − 2(a i b j )(a j b i )+a 2 jb 2 i , i,j = 1,n.
Sumăm după j şi obţinem: 0 ≤ a 2 i S ¡ b 2¢ − 2a i b i S (ab)+b 2 i S ¡ a 2¢ , i = 1,n. Sumăm
acum după i: 0 ≤ S ¡ a 2¢ S ¡ b 2¢ −2S 2 (ab)+S ¡ a 2¢ S ¡ b 2¢ ,adică S 2 (ab) ≤ S (a) S (b),
q.e.d.
Aplicaţii
1. Fie pătratul ABCD şi M, N două puncte pe cercul înscris în acest pătrat. Să
se arate că
A ABCD ≥ 1 (AM · AN + BM · BN + CM · CN + DM · DN) .
3
Fie P, R, S, T mijloacele laturilor AB, BC, CD,DA. Din teorema medianei avem:
MP 2 = MA2 + MB 2
2
MS 2 = MC2 + MD 2
− AB2
4 , MR2 = MB2 + MC 2
− BC2
2 4 ,
− CD2
4 , MT2 = MD2 + MA 2
− DA2
2 4 .
2
Adunând obţinem
MP 2 + MR 2 + MS 2 + MT 2 = MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 − AB 2 .
Triunghiurile PMS şi TMR sunt dreptunghice, deci
MP 2 +MS 2 = PS 2 = AB 2 şi MT 2 +MR 2 = TR 2 = AB 2 .
Adunând obţinem MP 2 +MS 2 +MT 2 +MR 2 =2AB 2 , deci
MA 2 +MB 2 +MC 2 +MD 2 =3AB 2 (egalitate cunoscută).
Analog, NA 2 + NB 2 + NC 2 + ND 2 =3AB 2 . Folosind inegalitatea
Cauchy-Buniakowski, avem:
¡
MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2¢¡ NA 2 + NB 2 + NC 2 + ND 2¢ ≥
≥ (AM · AN + BM · BN + CM · CN + DM · DN) 2 sau
9AB 2 ≥ (AM · AN + BM · BN + CM · CN + DM · DN) 2 ⇔
⇔ 3A ABCD ≥ AM · AN + BM · BN + CM · CN + DM · DN.
2. Fie a 1 ,a 2 ,...a n ∈ R. Să seafle x 1 ,x 2 ,...x n ştiind că a 1 x 1 + a 2 x 2 + ···+
P
+a n x n = n şi x 2 1 + x 2 2 + ···+ x 2 P
n = n a 2 i .
a 2 i
i=1
1 Profesori, Plopeni (Prahova)
i=1
41