format .pdf, 1.8 MB

Asupra unei probleme de construcţie
Anca TIMOFTE, Alexandru ŢURCANU 1
Punctul de plecare al acestei note a fost una dintre problemele propuse spre
rezolvare absolvenţilor clasei a VII-a în cadrul Concursului "Recreaţii Matematice"
din 27 august 2002. Enunţul acestei probleme este următorul:
Fie dat un segment [MN]. Construiţi cu rigla şi compasul un pătrat ABCD
astfel încât M ∈ [AB], AM = MB,iarN ∈ [AC], AN =3NC. (Descrieţi toate
construcţiile care trebuie efectuate.) (Gabriel Popa)
Prezentăm în continuare soluţia dată de autorul problemei, aşa cum a reieşit din
baremul de corectare:
Soluţia 1. Să presupunem problema rezolvată şi fie P A
D
mijlocul segmentului [BC]. Atunci NPkBD, PMkAC (ca
linii mijlocii), deci NP ⊥ MP şi m( \MPB)=45 ◦ . Dacă a
M
este lungimea laturii pătratului, atunci MP = a√ 2
2 , NP =
N
= a√ 2
4 ,deciMN = a√ 10
, de unde NP = √ 1 MN.
4
5
Construcţia. Vom lua ca unitate un segment u de B
P C
lungime egală cu cea a segmentului [MN].
u
5
u
u
5
x =
1
u
5
5u
u
x
u
Ca în figurile de mai sus, construim un segment de lungime
1
√
5
u. Intersectăm
cercul de diametru [MN] cu cercul de centru N şi rază √ 1 u,obţinând punctul P .
5
Construim triunghiul dreptunghic isoscel de ipotenuză [MP] şi aflăm astfel vârful B
al pătratului. Apoi, A şi C sunt simetricele lui B faţă deM, respectiv P .VârfulD
se obţine ca intersecţie a paralelelor duse prin A şi C la BC, respectiv AB.
Demonstrarea faptului că ABCD astfel determinat este pătrat cu proprietăţile
dorite, este imediată. Evident că problemaaresoluţie, unică pânălaoizometriea
planului.
Vom da mai jos încădouăsoluţiialeacesteiprobleme. Primaareavantajulcănu
foloseşte nici un punct auxiliar; este însă necesară obună cunoaştere a construcţiilor
1 Elevi, Şcoala nr.7 "Octav Băncilă", Botoşani
28