format .pdf, 1.8 MB

A 1 C 1 kA 2 C 2 , B 1 C 1 kB 2 C 2 )dacă şi numai dacă
SA 2 ¡ AB 2 − AC 2¢ + SB 2 ¡ BC 2 − BA 2¢ + SC 2 ¡ CA 2 − CB 2¢ =0.
Daly Marciuc, Satu Mare
B. Nivel liceal
L36. Fie 4ABC şi M triunghiul său median. Dacă P este un punct aflat în
interiorul sau pe laturile lui M, iarA 0 , B 0 , C 0 sunt intersecţiile dreptelor AP , BP,
CP cu laturile BC, CA şi respectiv AB, atunci 1 4 < AP · BP · CP
AA 0 · BB 0 · CC 0 ≤ 8 27 .
Marian Ionescu, Piteşti
L37. Fie cercurile C 1 , C 2 şi C astfel încât C 1 şi C 2 sunt tangente exterior în D, iar
cercurile C 1 şi C 2 sunt tangente interior lui C în B, respectiv C. Tangenta comună
interioară cercurilor C 1 şi C 2 taie cercul C în A şi A 1 ,dreaptaAB taie C 1 în K, iar
AC taie C 2 în L. Săsearatecă 1
DA + 1
DA 1
= 2
KL .
Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)
L38. Fie 4ABC şi punctele D, D 0 ∈ BC conjugate armonic în raport cu vârfurile
B şi C. Cercul circumscris 4ADD 0 intersectează AB în M şi AC în N. Arătaţi
că, dacă MN ⊥ BC, atunci [AD şi [AD 0 sunt bisectoarele unghiului A b (interioară şi
exterioară) sau m( A)=90 b ◦ .
Temistocle Bîrsan, Iaşi
an (an +2)
p (p +1)
L39. Determinaţi toate numerele naturale nenule n pentru care este
pătrat perfect, unde a, p ∈ N ∗ .
Mihai Haivas, Iaşi
L40. Fie A, B ∈ M n (Z) astfel încât det ¡ A 2 B + AB 2¢ este impar. Să searate
că A + αB este inversabilă pentru orice α ∈ Q.
Marian Ursărescu, Roman
L41. Demonstraţi că grupul simetric S 32 nu are elemente de ordin 2002.
Paul Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşi
L42. Fie (A, +, ·) un inel finit cu cel puţin 5 elemente şi cu 1+1∈ A inversabil.
Fie M = © x ∈ A | x 2 =1 ª , I = © x ∈ A | x 2 = x ª .Săsearatecă card M =cardI<
< card A/2.
Ovidiu Munteanu, Braşov
L43. Determinaţi polinoamele P ∈ R [X] pentru care P (z) ∈ C\R, ∀z ∈ C\R.
Gheorghe Iurea, Iaşi
L44. Fie n ≥ 2 număr natural, iar f 0 ,f 1 ,f 2 ,... un şir de polinoame definit
prin: f 0 =(X +1) n , f p+1 = X · fp 0, ∀p ≥ 0. Definim încă h p = f p − σ p−1
1 f p−1 +
+ ···+(−1) p−1 σ p−1
p−1 f 1, ∀p ≥ 1, unde σ n k =
X
1≤i 1