format .pdf, 1.8 MB

7) Fie α ∈ C\Q astfel încât mulţimea A = {m + nα | m, n ∈ Z} este inel faţă
de operaţiile uzuale din C. Dacă A are exact patru elemente inversabile, atunci
A = Z [i].
8) Dacă d ∈ {2, 3, 5}, atunci U (Z [d ]) conţine o infinitate de elemente şi putem
găsi în U (Z [d ]) elemente pozitive oricât de mici (este suficient să găsim un singur
element, considerând apoi puterile acestuia şi conjugatele lor).
Problemele 1-6 sunt rezolvate în [3]; problema 7 a fost propusă deMarcel Ţena
la etapa finală a Olimpiadei de Matematică în 1997, iar 8 poate fi găsită învariantele
examenului de bacalaureat din ultimii ani.
II Corpul numerelor pătratice. Fie d un număr întreg liber de pătrate;
definim
³√ n
Q d´
= z ∈ C | z = a + b √ o
d, a, b ∈ Q .
³ ³ √d´ ´
1) Q ;+, · este subcorp al lui C (inversul elementului nenul a + b √ d
1
³
este
a 2 − db 2 a − b √ ´ ³ √d´
d ∈ Q , deoarece a 2 − db 2 6= 0; altfel, se ajunge la
√ a d = ± /∈ R\Q!).
b
³ µ
√d´
a b
2) Q este izomorf cu mulţimea matricelor de forma , a, b ∈ Q, care
db a
formează corp în raport ³ cu operaţiile uzuale.
√d´ ³ √d ´
3) Corpurile Q şi Q
0
sunt izomorfe dacă şi numai dacă d = d 0 ;singurele
automorfisme ale corpului Q sunt aplicaţia identică şi cea de conjugare,
³ √d´
ambele invariind elementele lui Q.
4) Dacă unsubcorpK ⊂ C este astfel încât End K = {f,g} şi f (x) ³ =g (x) ⇒ √d´
x ∈ Q, atunciexistăunîntregliberdepătrate d 6= 1pentru care K = Q .
³ √d´
5) Dacă f ∈ Q [x], atunci f (¯z) = f (z), ∀z ∈ Q ; de aici urmeazăcă
³ √d´
orice polinom cu coeficienţi raţionali, are eventualele rădăcini din Q în perechi
conjugate.
Problemele 1-3 pot fi găsite în [3], problema 4 afostpropusălaetapafinalăa
Olimpiadei de Matematică din 1988 de către Marcel Ţena, iar5 poate fi rezolvată
urmând pas cu pas demonstrarea unor rezultate analoage din manuale.
III Extinderi pătratice. Corpuri pitagorice. Fie r ∈ Q ∗ + astfel încât √ r/∈ Q;
definim ca mai sus corpul Q ( √ r), careestesubcorpalluiR din pozitivitatea lui r.
1) Q ( √ r) este cel mai mic subcorp al lui R care include Q∪ { √ r}.
2) Putem gândi pe Q ( √ r) ca un Q-spaţiu vectorial, definind înmulţirea "vectorilor"
din Q ( √ r) cu "scalari" din Q prin restricţionarea înmulţirii obişnuite din
Q ( √ r) (de fapt, din R). Dimensiunea acestui spaţiu vectorial este 2, obază fiind
{1, √ r} (a se găsi şi alte baze!).
√
3) Polinomul
√
f = X 2 − r ∈ Q [X] este ireductibil peste Q, dar
√
admite rădăcina
r în Q ( r); orice alt polinom g ∈ Q [X] care admite rădăcina r se divide prin f.
Spunem că f este polinomul minimal al lui √ r.
33