format .pdf, 1.8 MB

More documents

Recommendations

Info

BC = 4 cm şi AD = 3 cm. Măsura unghiului dintre AD şi BC este egală cu ......................... grade. 7. Fie ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 - cub. Atunci m(∠ (A 0 C 0 ,AD 0 )) = ......................... 8. Aria 4ABC este 268 cm 2 . Aria triunghiului <strong>format</strong> de mijloacele laturilor sale este ......................... 9. Fie 4ABC cu m(∠A) =60 ◦ , m(∠B) =80 ◦ , (AA 0 , (BB 0 , (CC 0 - bisectoarele unghiurilor 4ABC (A 0 ,B 0 ,C 0 aparţin cercului circumscris 4ABC). a) m(∠B 0 C 0 A 0 )=......................... b) m(∠A 0 B 0 C 0 )=......................... II. 1. Fie f : R → R, f (x) =3x +1, g : R → R, g (x) =−x +1. a) Calculaţi aria suprafeţei determinată de graficele funcţiilor şi Ox. b) A = © (x, y) | x, y ∈ R ∗ +,f(x + y) ≤ f ¡ 2 √ xy ¢ª . Reprezentaţi grafic elementele lui A. c) B = © n ∈ N ||g (n)| ≤ 8 √ 2 ª . Determinaţi suma elementelor din B. 2. Fie numerele a = ¡√ 2+1 ¢¡√ 3 − √ 2 ¢ ... ¡√ 100 + √ 99 ¢¡√ 101 − √ 100 ¢ şi b = ¡√ 2 − 1 ¢¡√ 3+ √ 2 ¢ ... ¡√ 100 − √ 99 ¢¡√ 101 + √ 100 ¢ . a) Arătaţi că a + b>2. b) Comparaţi numerele (1 − a)(1+b) şi b − a. 3. Tetraedrul ABCD se secţionează cuunplanα paralel cu muchiile [AB] şi [CD], AB = a, CD = b. Planulα intersectează muchiile [BD] , [BC] , [AD] , [AC] în N,M,P şi respectiv Q. a) Demonstraţi că patrulaterul MNPQ este paralelogram. b) Dacă BM = x, x>0, exprimaţi aria paralelogramului MNPQ în funcţie de MC a, b, x şi măsura unghiului dintre AB şi CD. c) Determinaţi poziţia punctului M ∈ [BC] pentru care aria paralelogramului MNPQ este maximă. Testul 3 (prof. Lidia BOSÂNCIANU ) 1. Cel mai mic număr natural nenul divizibil cu 88 şi care poate fi scris ca produsul a trei numere naturale consecutive este ......................... 2. Dacă a, b, c, d ∈ R, şi cd =1, valoarea minimă a expresiei a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + +2ab − 2ac − 2ad − 2bc − 2bd +14este ......................... 3. Numerele 5 − x, 2x +3 şi 5x − 2, x ∈ R, reprezintă lungimile laturilor unui triunghi. Atunci x ∈ ......................... 4. Ecuaţiile (m − 1) 2 (x +2)+9=(m − 1) 2 −3(m − 1) (x +2), (m − 1) 2 (x +1)= =3(3x + m +5), m ∈ R sunt echivalente dacă m ......................... 5. Fie f : R → R, f (x) =2|x| − f (−1) − 3, ∀x ∈ R. Atuncif (x) =.................... 6. Fie ABCD un dreptunghi, MA⊥ (ABC), N mijlocul lui (BC), <strong>MB</strong> = BD = =6cm şi MD =4 √ 3 cm, atunci d (M,DN) =......................... 7. Fie 4ABC oarecare, M ∈ (BC) astfel încât MC = 1 BC, N ∈ AC astfel 3 încât AN = 1 4 AC, iarAM ∩ BN = {P }. Atunci AP PM = ......................... 8. ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 este un paralelipiped dreptunghic cu perimetrul bazei 28 cm. Dacă diagonala paralelipipedului are lungimea de 20 cm şi formează cuomuchie laterală ununghicumăsura de 30 ◦ , volumul [ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 ] este ......................... 9. Fie un con circular drept cu secţiunea axială un triunghi isoscel cu baza 8 cm 50
şi perimetrul 18 cm. a) Măsura unghiului corespunzător sectorului de cerc obţinut prin desfăşurarea conului este ......................... b) Volumul conului este ......................... II. 1. Să segăsească ultimele două cifrealenumărului A = £¡ 2 2n +2 2n+1 +2 2n+2 +2 2n+3¢·4 2n + ¡ 4 2n +4 2n+1 +4 2n+2 +4 2n+3¢ 2 n¤·8 n − − 22n+1 +2 2n+3 4 n +4 n+1 ,n∈ N ∗ . 2. Fie x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ R ∗ + cu x 1 x 2 ...x n =1.Să se demonstreze inegalitatea: (x 1 + √ x 2 +1)(x 2 +2 √ x 2 +1)...(x n + n √ x n +1)> 3 · 4 ·····n (n +1)(n +2). 3. VABCDeste o piramidă patrulaterăregulată având toate muchiile de lungime a. FieQ mijlocul lui (CV ) şi (C) cercul înscris în triunghiul VBC. a) Să searatecă (BDQ) ⊥ (VBC). b) Dacă M este un punct oarecare pe (C) şi N ∈ (BD), să se determine lungimea minimă posibilăpentru(MN). Testul 4 (prof. Lidia BOSÂNCIANU ) 1. Fie a =2 1 · 2 2 · 2 3 ·····2 100 − ¡ 16 2¢ 631 . Atunci a = ......................... 2. Ştiind că 6 ¡ 3 a + bb ¢ +2 c = 493, atunci abc = ......................... 3. Dacă a−13 b = a b+7 , a, b∈N∗ , atunci cea mai mare valoare pentru a este .......... ½ q ¾ b ¡ab ¢ ¡ ¢ 4. Mulţimea A = ab ∈ N | +36 / ab − 36 ∈ N = ......................... 5. Fie f : R → R, f (x − 1) = −3x +1− f (2), ∀x ∈ R. Atuncif (x) =............... 6. Fie M mijlocul laturii (AB) a dreptunghiului ABCD, MN ⊥ AC, N ∈ (AC) şi 8MN = AC. Atuncim(\BAC) =......................... 7. Fie 4ABC cu m( B)−m( b C)=40 b ◦ .FieAD ⊥ BC şi (AE bisectoarea lui \BAC, D, E ∈ (BC). Dacă (AD şi (AE împart \BAC în trei unghiuri cu măsurile direct proporţionale cu 1, 2, 3, atunci măsurile unghiurilor 4ABC sunt ......................... 8. Într-un cilindru cu diametrul de 4 cm şi înălţimea de 25 cm se aşează nişte bile cu raza de 20 mm. a) Care este numărul maxim de bile ce încap în cilindru? b) Câte procente din volumul cilindrului ocupă bilele? 9. Într-o piramidă patrulaterăregulată, secţiunea diagonală este un triunghi dreptunghic isoscel. Atunci A t /A l = ......................... II. 1. Fie a, b ∈ Z. Arătaţi că ¯¯a − b 2¯¯ + a 2 + a =0⇐⇒ a = b =0. 2. Rezolvaţi în N ecuaţia y = x 2x 3 ...x n + x 1 x 3 ...x n + ···+ x 1 x 2 ...x n−1 . x 1 x 2 ...x n (x 1 + x 2 + ···+ x n ) 3. Fie 4ABC dreptunghic isoscel, (AB) ≡ (AC) şi AB = a. Se duce CS ⊥ (ABC), CS = a. a) Calculaţi aria totală şi volumul piramidei SABC în funcţie de a. b) Aflaţi m( \ (SAB) , (ABC)). c) Dacă CP ⊥ SB şi Q este mijlocul muchiei (SA), să se demonstreze că patrulaterul ABP Q este inscriptibil. 51
Page 1 and 2: Recreaţii ştiinţifice - „cea
Page 3 and 4: destul de ingenioase". Nu ne propun
Page 5 and 6: Foşti rezolvitori ai "Recreaţiilo
Page 7 and 8: Câteva curbe celebre şi important
Page 9 and 10: Ecvaţia (3) fiind rezolvită înpr
Page 12 and 13: ...;totuşi, numerele exprimând mi
Page 14 and 15: Finsler speciale” se referă la c
Page 16 and 17: p un asemenea divizor. Rezultă că
Page 18 and 19: Pentru x = ky, y ∈ Z vom avea: F
Page 20 and 21: Patrulater inscriptibil: 19 5 , 4 5
Page 22 and 23: Pentagon: 3, 1 2 , 2√ 5, 1 2 ,
Page 24 and 25: particulare: trapeze ş. a.) 2) În
Page 26 and 27: Demonstraţie. Vom demonstra afirma
Page 28 and 29: Asupra unei probleme de construcţi
Page 30 and 31: Câteva aplicaţii ale teoremei lui
Page 32 and 33: Extinderi de inele şi corpuri - o
Page 34 and 35: ³ √d´ 4) Din puncte de vedere g
Page 36 and 37: " # ce conduce la y ∈ −2 − 2
Page 38 and 39: Comentarii asupra unui exerciţiu D
Page 40 and 41: Demonstraţie. Din xy = p (x + y +
Page 42 and 43: Conform inegalităţii C-B, avem: (
Page 44 and 45: ) Să searatecădacă toate rădăc
Page 46 and 47: Fac. de Electronică şi Telecomuni
Page 48 and 49: a) (x, y) ∈ {(−2, 3) , (−3, 2
Page 52 and 53: Soluţiile problemelor propuse în
Page 54 and 55: cifrele a,b,c,...,g sunt distincte,
Page 56 and 57: Soluţie. Plecând de la identitate
Page 58 and 59: AM · BN ≤ 4 9 . Emil Vasile, Plo
Page 60 and 61: {x} ≥ 0. Atuncix = n + a n , n
Page 62 and 63: Deoarece funcţia f (t) = t (2 t
Page 64 and 65: XI.29. Să searatecă lim n→∞ n
Page 66 and 67: XII.29. Fie f : R → R ofuncţie c
Page 68 and 69: permise, aşezând în mod repetat
Page 70 and 71: G17. Fie ABCD un patrulater convex
Page 72 and 73: Soluţie. Din relaţia dată înipo
Page 74 and 75: L11. Să se rezolve în N ∗ ecua
Page 76 and 77: Partea a doua a afirmaţiei b) rezu
Page 78 and 79: L20. Fie a ∈ R, a>1. Se consider
Page 80 and 81: utilizând două greutăţi, una de
Page 82 and 83: IX.38. Să searatecă xn+1 y n + yn
Page 84 and 85: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BOTOŞANI Şc
Page 88: IMPORTANT • În scopul unei legă

format .pdf, 1.8 MB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?