format .pdf, 1.8 MB

XI.29. Să searatecă
lim
n→∞
n
ln ln n
Ã
!
n
r1+ 1 2 + ···+ 1 n − 1 =1.
Soluţie. Scriem termenul general x n sub forma: x n = n (u n − 1)
ln a n
Marian Tetiva, Bârlad
· ln a n
ln b n
, unde
u n = n r1+ 1 2 + ···+ 1 n , a n = 1 + 1 2 + ··· + 1 n şi b n = lnn. Din relaţia 1 <
<
r1+ 1 n 2 + ···+ 1 n < n√ n, n ≥ 2 deducem că lim u n =1. Atunci, avem:
n→∞
n (u n − 1) u n − 1
u n − 1
lim
= lim = lim
=1. (1)
n→∞ ln a n n→∞ ln u n n→∞ ln [1 + (u n − 1)]
a n
Folosind criteriul lui Stolz-Cesàro, găsim că lim =1.Înconsecinţă,
n→∞
¸
b n
ln a n
·ln (an /b n )
lim = lim
+1 =1.Deaicişi din (1), obţinem că lim
n→∞ ln b n n→∞ ln b x n =1.
n n→∞
XI.30. Fie f : R → R ofuncţie discontinuă şi care are proprietatea lui Darboux.
Dacă existăofuncţie g : R×R → R astfel încât f (x + y) =g (f (x) ,y), pentru orice
x, y ∈ R, atuncifuncţia f nu are limită la∞.
Ştefan Alexe, Piteşti
Soluţie. Dacă f ar fi injectivă, cum f are proprietatea lui Darboux, ar însemna
că f este continuă, ceea ce contrazice ipoteza. Deci f nu este injectivă şi atunci există
a, b ∈ R, a