format .pdf, 1.8 MB

{x} ≥ 0. Atuncix = n + a n , n ∈ N∗ , n>[a].
IX.27. Să se determine funcţiile f,g :[0, ∞) → [0, ∞), undeg este surjectivă şi
aditivă şi g (y)+g (f (x)) = f (x + g (y)), ∀x, y ∈ [0, ∞).
Ioan Săcăleanu, Hârlău
Soluţie. Fie y 0 ∈ [0, ∞) pentru care g (y 0 )=0;atunciobţinem că g (f (x)) =
f (x), ∀x ∈ [0, ∞) (1). Prin urmare, g (y) +f (x) =f (x + g (y)), ∀x, y ∈ [0, ∞),
relaţiecarepentrux =0arată că f (g (y)) = f (0) + g (y), ∀y ∈ [0, ∞) (2).Cumg
este surjectivă, pentru orice z ∈ [0, ∞), găsim y ∈ [0, ∞) astfel încât g (y) =z. Din
(2) deducem f (z) =f (0) + z, ∀z ∈ [0, ∞). Înlocuind în (1) şi folosind faptul că g
este aditivă, obţinem că g (z) =z, ∀z ∈ [0, ∞).
IX.28. Să se determine funcţiile f : R → R pentru care (f ◦ f ◦ ···◦ f)(x) =
| {z }
n ori
= x + α, α ∈ R ∗ fixat, iar funcţia g = f − 1 R este monotonă.
Mihail Bencze, Braşov
Soluţie. Aplicând f înambiimembriaiegalitaţii din enunţobţinem că f (x+α) =
= f (x)+α, ∀x ∈ R, deundeg (x+α) =f (x+α) − (x+α) =f (x) − x = g (x),
∀x ∈ R.Cum g monotonă, rezultă că g constantă: g (x) = k, ∀x ∈ R. Atunci
f (x) =x + k, ∀x ∈ R, deci(f ◦ f ◦ ···◦ f)(x) =x + nk = x + α. Urmează k = α | {z }
n ,
n ori
adică f (x) =x + α , ∀x ∈ R.
n
IX.29. Să searatecă în orice triunghi ABC are loc inegalitatea
la
3 + l3 b
+ l3 c
≤ 3R p
p (p3 − 3abc)
h a h b h c 2r
Viorel Cornea şi Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara
Soluţie. Din egalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz, obţinem că
µ X
l
3 2 ³X a
≤ l
6
h a´ µX 1
a h 2 . (1)
a
Se ştie că OG 2 = R 2 − 1 ¡
a 2 + b 2 + c 2¢ ≥ 0, decia 2 +b 2 +c 2 ≤ 9R 2 şi atunci majorăm
9
al doilea factor: X 1
h 2 = a2 + b 2 + c 2
a 4S 2 ≤ 9R2
4S 2 .Acum
l a = 2bc
b + c cos A 2 ≤ √ r
p (p − a)
bc
= p p (p − a), deci
bc
X
l
6
a ≤ p 3X (p − a) 3 = p 3£ 3p 3 −3p 2 (a + b + c)+3p ¡ a 2 + b 2 + c 2¢ − ¡ a 3 + b 3 + c 3¢¤ .
Un calcul de rutină aratăcă a 3 + b 3 + c 3 =3p ¡ a 2 + b 2 + c 2¢ +3abc − 4p 3 , de unde
rezultă că X la 6 ≤ p ¡ 3 p 3 − 3abc ¢ . Revenind în (1), deducem concluzia.
IX.30. În patrulaterul ABCD considerăm punctele R şi S pe diagonala BD, în
interioarele triunghiurilor ABC, respectivACD. Notam {M} = CR ∩ AB, {N} =
60