format .pdf, 1.8 MB

C i (i =1, 2, 3) de aceeaşi rază r, tangente interior cercului C în vârfurile A i corespunzătoare.
Să searatecă pentru orice P ∈ C(O, R) are loc relaţia t 2 1 + t 2 2 + t 2 3 =
constant, unde t i (i =1, 2, 3) este lungimea tangentei dusă dinP la cercul C i .
Temistocle Bîrsan, Iaşi
Soluţie. Fie O i centrul cercului C i , i = 1, 3. Evident
că 4O 1 O 2 O 3 este echilateral, iar centrul său este
punctul O. Avem:
X
t
2
i = X PPi
2 (1)
= X ¡
PO
2
i − r 2¢ = −3r 2 + X POi
2 (2)
=
³
= −3r 2 + 3PO 2 + X ´
OOi
2 = −3r 2 +3R 2 +3 (R − r) 2 =
=6R 2 − 6Rr = constant,
unde (1) se justifică prin aplicarea teoremei lui Pitagora
în triunghiurile dreptunghice PP i O i ,iar(2) prin relaţia
lui Leibniz.
G20. Să searatecă pentru orice alegere a 12 numere naturale consecutive nu se
pot numerota muchiile unui cub astfel ca suma numerelor aflate pe trei muchii care
au un vârf comun să fie aceeaşi pentru toate vârfurile cubului (nu se numerotează
două muchiicuacelaşi număr). Să searatecă este posibilă numerotarea descrisă
dacă se aleg convenabil 12 numere dintre oricare 13 numere naturale consecutive.
Constantin Chirilă, Iaşi
Soluţie. Fie n +1,n +2,...,n+12,n ∈ N şi să presupunem prin absurd că
suma numerelor de pe oricare trei muchii adunate adiacente este s. Obţinem că 8s =
=2[(n +1)+(n +2)+···+(n +12)], de unde, după calcule,găsim 2s =3(2n + 13).
Am ajuns evident la o contradicţie, deoarece în stânga avem un număr par, iar în
dreapta unul impar.
Pentru partea a doua, fără a restrânge generalitatea,
putem considera numerele 1, 2,...,13; cazul general se reduce
imediat la acesta. Fie c numărul pe care îl vom elimina.
Cu raţionamentul de mai sus, obţinem 4s =91− c
şi cum s = 91 − c ∈ N, în mod necesar c ∈ {3, 7, 11},
4
deci s ∈ {22, 21, 20}. Pentru c =7,vomdaoaşezare a
numerelor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 care să respecte
cerinţele problemei: fiecare pereche de numere simetrice
faţă de7 de forma (p, 14 − p) se scriu pe muchii simetrice faţă de centrul cubului,
astfel încât suma într-un vârf să fie21.
B. Nivel liceal
L6. Fie x 1 ,x 2 ,...,x n , n ∈ N\{0, 1}, numere reale cu proprietatea
x 1
+ x 2
+ ···+
x n
=1,
S − x 1 S − x 2 S − x n
unde S = P n
i=1 x i.Arătaţi că
x 3 1
+ x3 2
+ ···+
x3 n
≤− S2
S − x 1 S − x 2 S − x n n .
Răzvan Bărbulescu, elev, Craiova
71