format .pdf, 1.8 MB

Demonstraţie. Vom demonstra afirmaţiaprinmetodainducţiei matematice.
Pentru n =1relaţia (9) devine u 1 x 1 = u 1 x 3 − r (x 4 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔ x 2 u 1 =
= u 1 (x 3 − x 1 )=u 1 x 2 ceea ce arată căpentrun =1,enunţul este adevărat.
Pentru n =2relaţia (9) devine u 1 x 1 + u 2 x 2 = u 2 x 4 − r (x 5 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔
u 2 (x 4 − x 2 )=u 1 (x 1 + x 2 )+r (x 5 − x 4 ) ⇔ u 2 x 3 =(u 1 + r) x 3 = u 2 x 3 de unde se
deduce că enunţul este adevărat şi pentru n =2.
Presupunem că enunţul este adevărat pentru n ≥ 2, (adicărelaţia (9) este verificată)
şi să demonstrăm că eaesteverificată şi pentru n +1.Avemdearătat că:
n+1
X
u k x k = u n+1 x n+3 − r (x n+4 − x 4 ) − x 2 u 1 . (10)
k=1
Într-adevăr, relaţia (10) este echivalentă cu
nX
u k x k + u n+1 x n+1 = u n+1 x n+3 − r (x n+4 − x 4 ) − x 2 u 1
k=1
relaţiecare(încondiţiile verificării condiţiei (9)) esteechivalentăcu:
u n x n+2 − r (x n+3 − x 4 ) − x 2 u 1 + u n+1 x n+1 = u n+1 x n+3 − r (x n+4 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔
⇔ u n+1 (x n+3 − x n+1 )=u n x n+2 + r (x n+4 − x n+3 ) ⇔
⇔ x n+2 u n+1 = u n x n+2 + rx n+2 =(u n + r) x n+2 = u n+1 x n+2
de unde (dacă ţinem seama că x n ∈ R ∗ +, ∀n ∈ N ∗ ) deducem că relaţia (10) este adevărată.
Conform principiului inducţiei matematice rezultă căenunţul este adevărat
pentru orice n ∈ N ∗ şi astfel propoziţia este demonstrată.
Observaţie. Dacă x 0 =0=F 0 , x 1 =1=F 1 iar (u n ) n≥1
este o progresie
aritmetică deraţie r din relaţia enunţului deducem că
nX
u k F k = u n F n+2 − r (F n+3 − F 4 ) − u 1 ,
k=1
adică amobţinut Problema C:2310 propusă deFlorin Rotaru în G.M.-9/2000,
p.360. Dacă aiciluăm r =0şi u n =1, ∀n ∈ N ∗ deducem că şirul lui Fibonacci
verifică relaţia
nX
F k = F n+2 − 1, ∀n ∈ N ∗ .
k=1
Propoziţia 2. Dacă (x n ) n≥0
este un şir de numere reale strict pozitive care
satisface recurenţa (2) iar şirul (u n ) n≥1
are proprietatea că există r ∈ R ∗ astfel
încât
nX
u k x k = u n x n+2 − r (x n+3 − x 4 ) − x 2 u 1 , ∀n ∈ N ∗ , (11)
k=1
atunci şirul (u n ) n≥1
este o progresie aritmetică deraţie r.
Demonstraţie. Vom face şi aici demonstraţiaprinmetodainducţiei matematice.
Pentru n =2relaţia enunţului devine:
u 1 x 1 +u 2 x 2 = u 2 x 4 −r (x 5 − x 4 )−x 2 u 1 ⇔ u 1 x 1 +r (x 4 + x 3 − x 4 )+u 1 x 2 = u 2 (x 4 − x 2 )
⇔ u 1 (x 1 + x 2 )+rx 3 = u 2 x 3 ⇔ u 1 x 3 + rx 3 = u 2 x 3 ⇔ (u 1 + r) x 3 = u 2 x 3
de unde dacă ţinem seama că x n > 0, ∀n ∈ N deducem că u 2 = u 1 + r.
26