format .pdf, 1.8 MB

Concurs de admitere 2002, Iaşi
Facultatea de Informatică, Universitatea "Al. I. Cuza"
Analiză matematică
1. Fie (a n ) n∈N
, (b n ) n∈N
două şiruri de numere reale.
i) Dacă (a n ) n∈N
converge către a şi (b n ) n∈N
converge către b, cesepoatespune
despre convergenţa şirului a 0 ,b 0 ,a 1 ,b 1 ,...,a n ,b n ,...?Săsejustificerăspunsul dat.
ii) Dacă a n = (−1)n
n +1 şi b n =(−1) 2n+1 + n+2√ n, ∀n ∈ N, să se studieze convergenţa
şirului a 0 ,b 0 ,a 1 ,b 1 ,...,a n ,b n ,... .
2. Fie funcţia f :[−1, 1] → R, f (x) =ln ¡ x 2 +1 ¢ .Săsearatecă:
i) |f (x 2 ) − f (x 1 )| < |x 2 − x 1 |, ∀x 1 ,x 2 ∈ [−1, 1], x 1 6= x 2 ;
ii) există unsingurx 0 ∈ (−1, 1), astfelîncâtf (x 0 )=x 0 .
Algebră
1. Fie (G, ∗) şi (Γ, ◦) două grupuri. Să se demonstreze că dacă f : G → Γ este
izomorfism, atunci şi f −1 : Γ → G este izomorfism.
2. Fie dat q ∈ Q ∗ .Săsearatecă:
i) funcţia f : Z → Q, f (k) =q k , este morfism de la grupul (Z, +) la grupul
(Q ∗ , ·);
ii) dacă q /∈ {−1, 1}, atunci există un subgrup al lui (Q ∗ , ·) izomorf prin f cu
(Z, +). Să se precizeze acest subgrup.
3. Fie f ∈ Z 3 [X], f = b1 ⊕ X ⊕ X 2 ⊕ ···⊕ X n−1 , n ∈ N ∗ .Arătaţi că f se divide
prin X ⊕ b2, dacă şi numai dacă n este multiplu al lui 3.
4. Să se descompună în factori ireductibili peste Q, R şi respectiv C, polinomul
g = X 4 + X 3 − X 2 − 2X − 2, ştiind că g se divide prin X − α, unde α este o rădăcină
de ordinul trei a unităţii.
Algebră -colegiu
1. Fie A ∈ M 2 (R), t (A) suma elementelor de pe diagonala principală amatricii
A şi det (A) determinantul matricii A. Săsearatecă:
i) A 2 −t (A)·A+det(A)·I 2 = O 2 ,undeI 2 şi O 2 sunt matricea unitate şi respectiv
matricea nulă dinM 2 (R);
ii) dacă A 2 = ⎛O 2 ,atuncit (A) =0.
2. i) Fie A = ⎝ a ⎞
11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
⎠ ∈ M 3 (R). Să se scrie explicit toţi termenii care
a 31 a 32 a 33
apar în expresia determinantului matricii A şi care sunt de forma (−1) i+j+1 a 1i a 23 a 3j .
ii) α fiind un parametru real, să sediscuteşi să se rezolve sistemul:
½ 2x − 3y − z =1
−4x +6y +2z = −2α .
3. Fie H = © x + y √ 2 | x, y ∈ Q, x 2 − 2y 2 =1 ª .Arătaţi că H este parte stabilă
aluiR în raport cu înmulţirea şi că toate elementele lui H sunt simetrizabile în
raport cu operaţia indusă.
4. Să se determine polinoamele f,g ∈ Z [X], de gradul 1, astfelîncât
¡
X 2 +2X +2 ¢ · f + ¡ X 2 +3X +3 ¢ · g =1.
45