format .pdf, 1.8 MB

lor, numerele b şi a + b nu au nici un factor prim comun, afirmaţie valabilă şi pentru
numerele b n şi a + b. În concluzie, pentru n par, S n nu se divide cu a + b.
VIII.29. Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC cu latura bazei a,
iar muchia laterală 2a. Fie M mijlocul lui (VA), iarN un punct pe (VB) astfel
încât VN = 3a .Aflaţi distanţa de la V la planul (MNC).
4
Adrian Corduneanu, Iaşi
Soluţie. Cu teorema medianei în 4VAC,obţinem CM = a√ 6
. Folosind relaţia
2
lui Stewart în 4VBC, rezultă CN = a√ 31
. Din teorema cosinusului în 4VMN,
4
obţinem MN = a . Cunoaştem prin urmare laturile 4CMN şi cu formula lui Herron
2
aflăm aria sa: S CMN = 10a2√ 15
. Calculând acum volumul tetraedrului VMNC în
128
două moduri, când folosim drept bază 4VMN găsim că V VMNC = a3√ 11
,iarcând
64
luăm drept bază 4CMN, volumul fiind cunoscut, obţinem că distanţa de la V la
planul (MNC) este h = a√ 165
.
25
VIII.30. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare astfel încât AB = 4 √ 73,
CD =4 √ 29. Notăm cu E,F mijloacele segmentelor (AB), respectiv (CD). Să
se arate că mijloacele segmentelor (AF ), (BF), (CE), (DE) sunt vârfurile unui
paralelogram şi să se calculeze aria acestuia ştiind că areolaturădelungime √ 194.
Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, Blaj
Soluţie. Fie M,N,P,Q mijloacele segmentelor (EC), (AF ), (ED) şi respectiv
[BF]. În 4ECD, (MP) este linie mijlocie, iar (EF) este mediana; atunci (MP)
şi (EF) se înjumătăţesc. Raţionând analog în 4FAB, deducem că (NQ) şi (EF)
se înjumătăţesc. Rezultă că MP şi NQ sunt concurente în mijlocul lui (EF) şi
se înjumătăţesc, deci M,N,P,Q sunt coplanare şi MNPQ este paralelogram; fie
O centrul acestuia. Avem că OQ = 1 4 AB = √ 73, OP = 1 4 CD = √ 29. Dacă
PQ = √ 194, aria4OPQ se poate calcula cu formula lui Herron sau aflând înălţimea;
obţinem S OPQ = 1 2 şi deci S MON = 1 . Cum (PO) este mediană în4PNQ,avem
2
că S PON = S POQ = 1 2 şi deci S OMQ = 1 2 .Înfinal,S MNPQ =2.
ClasaaIX-a
IX.26. Dacă a ∈ (0, ∞), săserezolveecuaţia [x]+ a
[x] = {x} + a
{x} .Discuţie.
D. M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti
Soluţie. Pentru existenţa µ numitorilor, x /∈ [0, 1) şi x /∈ Z. Ecuaţia se scrie
echivalent ([x] − {x}) 1 − a
=0, iar prima paranteză nu se poate anula.
[x] {x}
Rămâne că [x] {x} = a, deci {x} = a n ,unden =[x] este din N∗ deoarece a>0 şi
59