format .pdf, 1.8 MB

Câteva curbe celebre şi importante
1. Cisoida lui Diocles 1 T
y
G
H
Q
M
L
A
B
Se dă un cerc, pe care se ia un punct A; fieAB
diametrul ce trece prin acest punct şi TT 0 tangenta
în B; prinA se duce o secantă caretaiecerculînH
şi tangenta în G; pesecantă se ia, cu începere de
la punctul A, o lungime AM egală cuHG -porţiunea
de secantă dintrecercşi tangentă -;locul
geometric al punctelor M este Cisoida lui Diocles.
P
Să însemnăm prin R raza cercului; originea de coordonate
să fieA; direcţia diametrului AB să fieluată
ca axă dex şi perpendiculara în A pe acest diametru
să fieaxadey.
Fie M un punct al Cisoidei, ale cărui coordonate sînt
x = AP şi y = MP. Prin ipotezăavemAM = HG,
de unde rezultă AP = DB. În triunghiul dreptunghiu AHB, avem
K D
HD 2 = AD · DB = x (2R − x); (1)
apoi triunghiurile asemenea AMP şi AHD dau
HD
MP = AD
HD
sau = 2R − x .
AP
y x
(2)
Eliminând HD între relaţiunile (1) şi (2), avem
(2R − x) y 2 = x 3 sau x 3 + xy − 2Ry 2 =0. (3)
Aceasta este ecvaţia Cisoidei.
Curba este simetrică înprivireaaxeidex, căci la fiecare valoare dată luix, corespunde
pentru y două valoriegaleşi de semne contrare. Ea se compune din două ramuri
indefinite, egale între ele, situate de o parte şi de alta a axei de x.
Originea A este un punct de înapoieredespeciaîntăia. Înadevăr, dacăneraportăm
la teoria punctelor multiple, ştim că coordonatele unui asemenea punct, satisfac ecvaţiei
curbei şi întăilor derivate parţiale; avem
f (x, y) =x 3 + xy 2 − 2Ry 2 , fx 0 =3x 2 + y 2 , fy 0 =2xy − 4Ry;
coordonatele punctului A sînt x =0şi y =0, care substituite în aceste relaţiuni dau
f (0, 0) = 0, f0 0 =0, f0 0 =0,
1 Articol preluat din "Recreaţii Ştiinţifice",anII(1884),nr.1,19-23.
Ciclul "Câteva curbe celebre şi importante" cuprinde 9 lecţii prezente în numerele din anii II şi III în
care sunt expuse principalele curbe plane: Cisoida lui Diocles (care deschide ciclul), concoida lui Nicomede,
melcul lui Pascal , strofoida, ovalele lui Cassini, cicloide, epicicloide, conice şi spirale.
S-au păstrat termenii de matematică din textul original, dar s-au făcut modificări în privinţa lexicului
şi ortografiei (astfeliŭ - astfel, valorĭ -valori,daŭ - dau, adecă -adică, s’a - s-a etc).
7
T ′
x