format .pdf, 1.8 MB

Presupunem că u n = u n−1 + r, n ≥ 2 şi să demonstrăm că u n+1 = u n + r.
Într-adevăr, pentru n +1relaţia (11) se scrie:
⇔
n+1
X
u k x k = u n+1 x n+3 − r (x n+4 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔
k=1
nX
u k x k + u n+1 x n+1 = u n+1 x n+3 − r (x n+4 − x 4 ) − x 2 u 1
k=1
în care dacă ţinem seama de relaţia (11) obţinem:
u n x n+2 − r (x n+3 − x 4 ) − x 2 u 1 + u n+1 x n+1 = u n+1 x n+3 − r (x n+4 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔
u n+1 (x n+3 − x n+1 )=u n x n+2 + r (x n+4 − x n+3 ) ⇔ u n+1 x n+2 = u n x n+2 + rx n+2
de unde prin simplificare cu x n+2 > 0, ∀n ∈ N deducem că u n+1 = u n + r.
Conform principiului inducţiei matematice rezultă că u n+1 = u n + r, ∀n ∈ N ∗
ceea ce arată că (u n ) n≥1
este o progresie aritmetică deraţie r.
Propoziţia 3. Dacă (u n ) n≥1
este o progresie aritmetică deraţie r>0, u 1 > 0
iar (x n ) n≥0
este un şirdenumererealeastfelîncâtx 0 ≥ 0, x 1 > 0, x 2 = x 1 + x 0 şi
dacă
nX
u k x k = u n x n+2 − r (x n+3 − x 4 ) − x 2 u 1 , ∀n ∈ N ∗ , (12)
k=1
atunci x n+2 = x n+1 + x n , ∀n ∈ N.
Demonstraţie. Procedăm şi acum prin inducţie matematică. Conform enunţului
pentru n =0,avemx 2 = x 1 + x 0 . Pentru n =1relaţia (12) devine u 1 x 1 =
u 1 x 3 − r (x 4 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔ u 1 x 1 + u 1 x 2 = u 1 x 3 de unde, dacă ţinem seama că
u n > 0, ∀n ∈ N ∗ ,obţinem că x 3 = x 2 + x 1 ,adicăafirmaţia enunţului este adevărată
şi pentru n =1. Presupunem că x k+2 = x k+1 + x k , ∀k = 0,n şi să demonstrăm că
x n+3 = x n+2 + x n+1 . (13)
Dacă în(12) înlocuim n cu n − 1 deducem că
n−1
X
u k x k = u n−1 x n+1 − r (x n+2 − x 4 ) − x 2 u 1 , ∀n ≥ 2. (14)
k=1
Dacă în(12) ţinem seama de (14) obţinem că
n−1
X
u n x n + u k x k = u n x n+2 − r (x n+3 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔
k=1
⇔ u n x n + u n−1 x n+1 − r (x n+2 − x 4 ) − x 2 u 1 = u n x n+2 − r (x n+3 − x 4 ) − x 2 u 1 ⇔
⇔ u n (x n + x n+1 − x n+2 )+r (x n+3 − x n+2 − x n+1 )=0,
dar x n + x n+1 − x n+2 =0în baza ipotezei de inducţie şi deci rămâne
r (x n+3 − x n+2 − x n+1 )=0⇒ x n+3 = x n+2 + x n+1 .
Conform principiului inducţiei matematice rezultă că x n+2 = x n+1 + x n , ∀n ∈ N şi
astfel propoziţia este demonstrată.
Bibliografie
1. M. D. Bătineţu - Şiruri, Editura Albatros, Bucureşti, 1979.
2. Gazeta Matematică, Colecţia 1895-2001.
27