permise, aşezând în mod repetat câte două monededinfişicul cel mai înalt peste cel mai mic, ajungem fie ca fişicurile să se egalizeze, fie ca în vârfurile lor să apară osituaţiedetipul(3, 2, 1). În această situaţie, succesiunea (3, 2, 1) O2 → (4, 0, 2) O1 → (2, 2, 2) rezolvă problema. G10. Pentru n ∈ N, n ≥ 2, rezolvaţi ecuaţia r r r n +1 n +1 n +1 n − x 1 + n − x 2 + ... n − x n + √ x 1 + x 2 + ···+ x n = n +1. r Mihai Totolici, Galaţi n +1 Soluţie. Cu notaţiile u i = n − x i, x = 1,n, u n+1 = √ x 1 + x 2 + ···+ x n obţinem că u 1 + u 2 + ···+ u n+1 = n +1,iaru 2 1 + u 2 2 + ···+ u 2 n+1 = n +1. De aici, (u 1 + u 2 + ···+ u n+1 ) 2 =(n +1) ¡ u 2 1 + u 2 2 + ···+ un¢ 2 , deci este atinsă egalitatea în inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz aplicată numereloru 1 , u 2 , ... , u n+1 ; 1, 1, ... , 1. Urmeazăcă u 1 = u 2 = ···= u n+1 =1, de unde x 1 = x 2 = ···= x n = 1 n . G11. Rezolvaţi în N ∗ × N ∗ ecuaţia x 2 + y 2 = 5445. Daniela Iosub, elevă, Iaşi Soluţie. Vom folosi următorul rezultat din teoria numerelor: dacă p =4k+3 este un număr prim şi p | a 2 + b 2 , a, b ∈ N ∗ ,atuncip | a şi p | b. Din ipoteză, 3 | x 2 + y 2 şi 11 | x 2 + y 2 , x, y ∈ N ∗ ,iar3 sau 11 sunt numere prime de forma 4k +3. Prin urmare, 33 | x şi 33 | y, decix =33l, y =33m, l, m ∈ N ∗ . Înlocuind în ecuaţie, obţinem că l 2 + m 2 =5, l, m ∈ N ∗ ,adică (l, m) ∈ {(1, 2) , (2, 1)}. De aici, (x, y) ∈ ∈ {(33, 66) , (66, 33)}. G12. Să sedeterminen, m ∈ N ∗ pentru care £√ 1 ¤ + £√ 2 ¤ + ...[ √ n]=n m . Adrian Zanoschi, Iaşi Soluţie. Pentru n =1,m∈ N ∗ relaţia dată se verifică. Căutăm soluţii cu n ≥ 2. Nu putem avea m ≥ 2, deoarece h√ i 1 + h√ 2 i + ... £√ n ¤ ≤ √ 1+ √ 2+···+ √ nn, adică numaigăsim soluţii. În concluzie, (n, m) ∈ {(1,a) | a ∈ N ∗ } ∪ {(2, 1) , (3, 1)}. G13. Arătaţi că numerele 18 n şi 2 n +18 n , n ∈ N, auacelaşi număr de cifre. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Să presupunem prin reducere la absurd că 18 n are k cifre, iar 2 n +18 n are mai mult de k cifre, deci 2 n +18 n ≥ 10 k > 18 n ≥ 10 k−1 .Evident,k>nşi atunci împărţind prin 2 n această inegalitate, obţinem: 1+9 n ≥ 5 k 2 k−n > 9 n ⇒ 2 k−n 5 k =1+9 n , (1) deoarece 2 k−n 5 k ∈ N. Pe de altăparte,1+9 n =1+(8+1) n = M4 +2,deci 2 k−n 5 k = M4 +2, de unde k − n =1;relaţia (1) devine 2 · 5 n+1 =1+9 n (2). 68
Numerele n =0, 1, 2, 3 nu verifică (2), iarpentrun ≥ 4 avem că µ n 9 =(1, 8) n ≥ (1, 8) 4 =(3, 24) 2 > (3, 2) 2 =10, 24 > 10, 5 adică 9 n > 10 · 5 n =2· 5 n+1 , deci (2) nu este verificată pentrun ≥ 4. Contradicţia obţinută încheie demonstraţia. G14. Să searatecănuexistă nici un triunghi dreptunghic având catetele numere raţionale, iar ipotenuza egală cu2001. Constantin Cocea, Iaşi Soluţie. Pentru a arăta că ecuaţia x2 y 2 + z2 t 2 = 2001 nu are soluţii în N∗ ,este suficient să demonstrăm că ecuaţia m 2 + n 2 = 2001p 2 (1) nu are soluţii în N ∗ . Folosind rezultatul amintit în soluţia problemei G11 şi observând că 3 | 2001, obţinem căînmodnecesarm şi n sunt multipli de 3; m =3m 1 , n =3n 1 , m 1 ,n 1 ∈ N ∗ .Ecuaţia (1) devine 3 ¡ m 2 1 + 1¢ n2 = 667p2 şi cum (3, 667) = 1, urmează că p =3p 1 , p 1 ∈ N ∗ . După înlocuire,m 2 1 + n 2 1 = 2001p 2 1 (2). Dacă presupunem că ecuaţia (1) admite soluţii, fie o asemenea soluţie cu p minim. Din (2) se obţine însă onouăsoluţie cu p 1
- Page 1 and 2:
Recreaţii ştiinţifice - „cea
- Page 3 and 4:
destul de ingenioase". Nu ne propun
- Page 5 and 6:
Foşti rezolvitori ai "Recreaţiilo
- Page 7 and 8:
Câteva curbe celebre şi important
- Page 9 and 10:
Ecvaţia (3) fiind rezolvită înpr
- Page 12 and 13:
...;totuşi, numerele exprimând mi
- Page 14 and 15:
Finsler speciale” se referă la c
- Page 16 and 17:
p un asemenea divizor. Rezultă că
- Page 18 and 19: Pentru x = ky, y ∈ Z vom avea: F
- Page 20 and 21: Patrulater inscriptibil: 19 5 , 4 5
- Page 22 and 23: Pentagon: 3, 1 2 , 2√ 5, 1 2 ,
- Page 24 and 25: particulare: trapeze ş. a.) 2) În
- Page 26 and 27: Demonstraţie. Vom demonstra afirma
- Page 28 and 29: Asupra unei probleme de construcţi
- Page 30 and 31: Câteva aplicaţii ale teoremei lui
- Page 32 and 33: Extinderi de inele şi corpuri - o
- Page 34 and 35: ³ √d´ 4) Din puncte de vedere g
- Page 36 and 37: " # ce conduce la y ∈ −2 − 2
- Page 38 and 39: Comentarii asupra unui exerciţiu D
- Page 40 and 41: Demonstraţie. Din xy = p (x + y +
- Page 42 and 43: Conform inegalităţii C-B, avem: (
- Page 44 and 45: ) Să searatecădacă toate rădăc
- Page 46 and 47: Fac. de Electronică şi Telecomuni
- Page 48 and 49: a) (x, y) ∈ {(−2, 3) , (−3, 2
- Page 50 and 51: BC = 4 cm şi AD = 3 cm. Măsura un
- Page 52 and 53: Soluţiile problemelor propuse în
- Page 54 and 55: cifrele a,b,c,...,g sunt distincte,
- Page 56 and 57: Soluţie. Plecând de la identitate
- Page 58 and 59: AM · BN ≤ 4 9 . Emil Vasile, Plo
- Page 60 and 61: {x} ≥ 0. Atuncix = n + a n , n
- Page 62 and 63: Deoarece funcţia f (t) = t (2 t
- Page 64 and 65: XI.29. Să searatecă lim n→∞ n
- Page 66 and 67: XII.29. Fie f : R → R ofuncţie c
- Page 70 and 71: G17. Fie ABCD un patrulater convex
- Page 72 and 73: Soluţie. Din relaţia dată înipo
- Page 74 and 75: L11. Să se rezolve în N ∗ ecua
- Page 76 and 77: Partea a doua a afirmaţiei b) rezu
- Page 78 and 79: L20. Fie a ∈ R, a>1. Se consider
- Page 80 and 81: utilizând două greutăţi, una de
- Page 82 and 83: IX.38. Să searatecă xn+1 y n + yn
- Page 84 and 85: Probleme pentru pregătirea concurs
- Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BOTOŞANI Şc
- Page 88: IMPORTANT • În scopul unei legă
Change language