Grundlegende Begriffe und der Satz von Lagrange - Universität ...

”Rechenregeln” in Gruppen
In einer Gruppe G gelten die folgenden Aussagen:
1 Jedes linksneutrale Element e (d.h. ∀ g ∈ G : eg = g) ist
auch rechtsneutral (d.h. ∀ g ∈ G : ge = g).
2 Es gibt genau ein (links-)neutrales Element.
3 Jedes linksinverse Element ist auch rechtsinvers, d.h.
∀ g, h ∈ G : gh = e ⇒ hg = e.
4 Zu jedem g ∈ G gibt es genau ein (links-)inverses Element,
d.h. genau ein h ∈ G mit hg = e.
5 Wir dürfen kürzen, d.h. für g, h, k ∈ G gilt kg = kh ⇒ g = h.
6 Sind g, h ∈ G, so gelten (gh) −1 = h −1 g −1 und (g −1 ) −1 = g.
7 Es gelten die Potenzgesetze, d.h. wenn wir g 0 := e und, für
i ≥ 1, rekursiv g i+1 := g i · g sowie g −i := (g i ) −1 definieren,
dann gilt für alle i, j ∈ Z: g i · g j = g i+j .
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