Grundlegende Begriffe und der Satz von Lagrange - Universität ...

Untergruppen
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter der
Gruppenoperation. Aus der Assoziativität in G folgt damit sofort
die Assoziativität in U.
Sei nun e das neutrale Element von G. Wir zeigen, dass e auch in
U liegt und U damit ein linksinverses Element besitzt.
Wir wählen irgendein u ∈ U und betrachten die Menge
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t und u s = u t . Ohne
Einschränkung sei s < t. Dann können wir (in G!) mit u −s
multiplizieren und erhalten e = u 0 = u t−s , also e ∈ U.
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