Grundlegende Begriffe und der Satz von Lagrange - Universität ...
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Untergruppen<br />
(d) ⇒ (a): (zu zeigen: (∀ u, v ∈ U : u · v ∈ U) =⇒ U ≤ G)<br />
Nach Voraussetzung ist U schon abgeschlossen unter <strong>der</strong><br />
Gruppenoperation. Aus <strong>der</strong> Assoziativität in G folgt damit sofort<br />
die Assoziativität in U.<br />
Sei nun e das neutrale Element <strong>von</strong> G. Wir zeigen, dass e auch in<br />
U liegt <strong>und</strong> U damit ein linksinverses Element besitzt.<br />
Wir wählen irgendein u ∈ U <strong>und</strong> betrachten die Menge<br />
{u 1 , u 2 , u 3 , . . .} ⊂ U. Diese ist nach Voraussetzung endlich, d.h. es<br />
gibt s, t ∈ {1, 2, 3, . . .} mit s = t <strong>und</strong> u s = u t . Ohne<br />
Einschränkung sei s < t. Dann können wir (in G!) mit u −s<br />
multiplizieren <strong>und</strong> erhalten e = u 0 = u t−s , also e ∈ U.<br />
Für t − s = 1 folgt u = e, d.h. u −1 = e −1 = e = u ∈ U.<br />
Und für t − s ≥ 2 haben wir u t−s−1 · u = u t−s = e, d.h. in diesem<br />
Fall ist u t−s−1 das in U gesuchte (links-)inverse Element zu u.<br />
q.e.d.<br />
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