Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Euler-Poisson-Gleichungen durchaus noch eine ϕ-Bewegung möglich ist; man
spricht von relativen Gleichgewichten.
Die Poisson-Struktur hat gegenüber der symplektischen Struktur einige Freiheiten,
ist ihr aber ansonsten äquivalent. Zum Beispiel muss ihre Dimension
nicht gerade sein, auch wenn sie es hier ist. Die Tatsache, dass die Transformation
(ϕ, ϑ, ψ, p ϕ , p ϑ , p ψ ) ↦→ (γ, l) nicht invertierbar ist, äußert sich darin,
dass P zwei sogenannte Casimir-Konstanten besitzt, das sind Phasenraum-
Funktionen C(γ, l), die unabhängig von irgendeiner Hamilton-Funktion Konstanten
der Bewegung (eigentlich: der Struktur) sind, da PC(γ, l) = 0. Hier
sind es die Funktionen
C 1 = γ 2 und C 2 = γ · l = l z . (165)
Mit C 1 = 1 legen wir uns auf die Poisson-Kugel als Konfigurationsraum fest;
sie ist unter der Poisson-Struktur invariant, und C 2 = l inkorporiert automatisch
die Erhaltung der vertikalen Drehimpuls-Komponente.
Als dritte Erhaltungsgröße haben wir wie üblich die Energie, H = h, und damit
sind dann im 6-dimensionalen Phasenraum 3-dimensionale Energieflächen“
”
als invariante Mengen gegeben. Wir nennen sie Eh,l 3 und stellen folgende Fragen:
1. welche topologische Struktur hat E 3 h,l bei gegebenen Parametern und
konstanten Werten (h, l)?
2. gibt es innerhalb der E 3 h,l
noch feinere invariante Mengen?
Die zweite Frage enthält die nach weiteren Erhaltungsgrößen. Die berühmte
Antwort darauf fand S. Kovalevskaya 11 1889, als sie zuerst ”
ihren“ integrablen
Spezialfall entdeckte und dann bewies, dass es außer denen von Euler,
Lagrange und ihrem eigenen keine weiteren allgemein integrablen Fälle mehr
gibt. Allerdings wurden in der russischen Schule weitere integrable Spezialfälle
für l = 0 gefunden, und vor allem wurde eine größere Anzahl von
periodischen Orbits identifiziert. Darauf soll hier nicht eingegangen werden.
Die erste Frage kann man bei gegebenen Werten der Parameter ein Stück
weit mit Hilfe der Methode von Smale beantworten, über dem zugänglichen
Teil des Konfigurationsraums das Bündel der Impulskreise zu betrachten.
11 S. Kowalevski, Sur le problème de la rotation d’un corps solide d’un point fixe, Acta
Math. 12 (1889) 177-232 und Sur une propriété du système d’équations différentielles qui
définit la rotation d’un corps solide d’un point fixe, Acta Math. 14 (1889) 81-93.
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