Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Interessant sind vor allem die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von
periodischen Punkten. Im Fall der Bäcker-Abbildung verzichten wir auf eine
Diskussion der Fixpunkte (0, 0) und (1, 1), weil die Unstetigkeit von B an
der Linie x = 1/2 und die von B −1 an der Linie y = 1/2 zu Entscheidungsproblemen
in der Frage führt, welcher Teil zu dem einen und welcher zu dem
anderen Fixpunkt bzw. von ihm weg abgebildet wird. Betrachten wir daher
z. B. den periodischen Punkt p ∗ 1 = ( 1, 2 ), dessen stabile Mannigfaltigkeit
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W (p ∗ 1) mit der seines Partners p ∗ 2 = ( 2, 1 ) identisch ist. Sie besteht offenbar
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zunächst aus den Linien x 1 = 1/3 und x 2 = 2/3. Dann aber gehören auch
die Linien dazu, die nach einem Schritt der Abbildung auf sie abgebildet
werden: x = x ik1 = 1x 2 i + k/2 mit i = 1, 2 und k = 0, 1, also x = 1, 1, 2, 5.
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Weiter die Linien, die nach zwei Schritten auf die beiden ersten Linien fallen:
x = x ik2 = 1 x
2 2 i + k/2 2 mit k = 0, 1, 2, 3. Allgemein werden nach n Schritten
die Linien
x = x ikn = 1 2 n x i + k 2 n , mit i = 1, 2 und k = 0, ..., 2n − 1 (83)
auf die Linien x 1 = 1/3 und x 2 = 2/3 abgebildet. Sie alle gehören zu W (p ∗ ),
und mit n → ∞ sieht man, dass sie in Q dicht liegen. Analog besteht W u (p ∗ )
aus der Menge aller horizontalen Linien mit y = x ikn , die ebenfalls dicht in Q
ist. Für weitere periodische Orbits gilt Ähnliches.
Man kann diese Mannigfaltigkeiten sehr leicht auch auf der Ebene der symbolischen
Darstellung diskutieren. Wenn ein periodischer Orbit gegeben ist,
dessen Symbolfolge s = s 1 s 2 ...s n ist, dann ist in Σ 2 die stabile Mannigfaltigkeit
W s (s) die Menge aller Symbolfolgen, die links von einer Stelle k beliebig
ist und von k an in die periodische Abfolge der s übergeht. Entsprechend
ist die instabile Mannigfaltigkeit W u (s) die Menge aller Symbolfolgen, die
bis zu einer Stelle k die Periode s hat und rechts davon beliebig ist. Von
besonderem Interesse sind noch die sog. homoklinen und heteroklinen Orbits
Homokline Orbits sind solche, die links von einem Index k 1 eine Periode s
besitzen und rechts von einem Index k 2 > k 1 dieselbe Periode. Heterokline
Orbits sind solche, die links von einem Index k 1 eine Periode s besitzen und
rechts von einem Index k 2 > k 1 eine andere Periode t. Solche Orbits waren
in der Vergangenheit periodisch, brechen irgendwann aus und schwenken in
der Zukunft wieder auf ein periodisches Verhalten ein. Die Existenz solcher
Orbits ist ein charakteristisches Merkmal chaotischer Dynamik.
Die sogenannte Hufeisen-Abbildung ist der Bäcker-Abbildung eng verwandt,
und man kann von ihr zeigen (siehe unten), dass sie in der Umgebung typischer
hyperbolischer Punkte Hamiltonscher Abbildungen einen Teil der Dy-
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