Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

pischer ”
Chaosbereich“ ist kein einfach zusammenhängendes Gebiet, er hat
Löcher womöglich auf vielen Skalen. Sind alle diese Löcher durch invariante
Tori begrenzt? Es gibt an dieser Stelle noch viele offene Fragen. Eine strenge
mathematische Charakterisierung solcher chaotischer Gebiete mit voller
Dimension 2 ist bislang nicht gelungen (außer in Fällen, in denen es das
Wechselspiel von regulärer und chaotischer Dynamik nicht gibt, wie bei der
Bäcker-Abbildung).
Abb. 13 gibt einen Eindruck davon, wie das Nebeneinander oder besser Ineinander
von Chaos und Ordnung aussieht. In der näheren Umgebung des
elliptischen und des hyperbolischen Punktes sieht alles recht klar regulär bzw.
chaotisch aus, aber im Grenzbereich zerfasern die Strukturen.
Abbildung 13: 13 Iterationen der Mannigfaltigkeiten des zentralen Fixpunkts und
zusätzlich einige Orbits, die reguläres Verhalten illustrieren. Links: versteckt in
Löchern“, die von den Mannigfaltigkeiten frei gehalten werden; rechts: in der
”
Umgebung der elliptischen Fixpunkte (0, 1) und (0, 2).
Man muss sich (bislang) damit zufrieden geben, dass nur für Cantormengen
innerhalb es hyperbolischen Bereichs der streng chaotische Charakter
nachgewiesen werden kann, nämlich: die Existenz einer Hufeisen-Abbildung.
Versuchen wir also, eines zu finden.
62