Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Man benutzt dieses Konzept, um Klassen äquivalenter dynamischer Systeme
zu definieren, in denen man dann jeweils nur einen (möglichst einfach zu behandelnden)
Vertreter zu betrachten braucht. Zum Beispiel kann man für h
die Menge aller linearen Abbildungen y = h(x) = ax + b betrachten und zu
einem gegebenen f die Menge aller affin äquivalenten F = h ◦ f ◦ h −1 . Man
erwartet, dass Parameterabhängigkeiten des qualitativen Verhaltens der Abbildungen
innerhalb einer solchen Klasse ähnlich sind, etwa die Abfolge von
Bifurkationen.
Als Beispiel betrachten wir die Menge der quadratischen Abbildungen f :
R → R oder f : C → C mit
f(x) = Ax 2 + 2Bx + C. (2)
Wir zeigen, dass jede dieser Abbildungen vermittels einer geeignet gewählten
affinen Abbildung y = h(x) = ax + b konjugiert ist zu Mandelbrots
Standardform
F (y) = y 2 + c. (3)
Dazu setzen wir x = (y − b)/a in (2) ein und finden zunächst
x ′ = f(x(y)) = A ( B
a 2 y2 + 2
a − bA )
y + b2 A
a 2 a − 2bB + C. (4)
2 a
Dieses x ′ unterwerfen wir der affinen Transformation und finden
y ′ = ax ′ + b = A (
a y2 + 2 B − bA )
y + b2 A
− 2bB + b + aC. (5)
a a
Wir fordern nun, dass das die Standardform (3) haben solle. Ein Koeffizientenvergleich
gibt dann
a = A, b = B, c = B(1 − B) + AC. (6)
Wir sehen also, dass jede Abbildung der Art (2) auf genau eine affine Weise
in eine Abbildung (3) überführt werden kann, wobei der Parameter c dann
durch c = B(1 − B) + AC gegeben ist. Bei dieser Konjugation wird die Zahl
der Parameter in der Abbildung von drei auf einen reduziert; die Menge der
quadratischen Abbildungen ist also im Wesentlichen nur eine 1-Parameter-
Familie.
Wählen wir in (2) A = −λ, B = λ/2, C = 0, so erhalten wir die logistische
Abbildung
z ↦→ z ′ = λz(1 − z). (7)
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