Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

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die Form des Kreisels durch den Parameter α, I 2 = I 3 = αI 1 ; der Schwerpunkt habe die Koordinaten s = (−1, 0, 0). Es zeigt sich, dass das Bifurkationsverhalten unterschiedlich ist in den drei Bereichen I: 1/2 < α < 3/4 (oblate, d. h. diskusförmige Kreisel), II: 3/4 < α < 1 und III: α > 1 (prolate, d. h. zigarrenförmige Kreisel). In allen Fällen ist aber das effektive Potential nur von γ 1 abhängig, U l (γ) = l 2 2I 1 (α + (1 − α)γ 2 1) − γ 1, (168) so dass also die Rotation um die 1-Achse eine weitere Symmetrie des Kreisels beschreibt und l 1 eine zusätzliche Erhaltungsgröße ist, die das System integrabel macht. In Abb. 26 sind die möglichen Potentialverläufe dargestellt; zu ihrer Interpretation benötigt man wieder die entsprechenden Reeb-Graphen in Abb. 27. Auf der Grundlage dieser Potentialverläufe bzw. mit Hilfe der Gleichung (167), die sie beschreibt, identifiziert man die kritischen Werte (h, l) (das heißt: man sucht bei gegebenem l diejenigen h, bei denen das Potential U l (γ) einen kritischen Wert hat). Daraus ergeben sich dann die Bifurkationsdiagramme der Abb. 28 links für Euler und rechts sowie Abb. 29 für Lagrange. Die Farben der von den kritischen Werten eingeschlossenen Bereiche kodieren den toplogischen Typ der Energiefläche. Wenn h in einem roten Potentialbereich liegt, ist der energetisch zugängliche Bereich Uh,l 2 = {γ : U l(γ) ≤ h} auf der Poissonkugel eine Scheibe D 2 , und dann ist nach den Konstruktionsregeln von Smale Eh,l 3 eine 3-Sphäre S3 . Liegt h in einem gelben Bereich, dann gibt es jeweils zwei Äquipotentiallinien zum selben h, und beide begrenzen eine Scheibe D 2 ; deshalb besteht Eh,l 3 aus zwei disjunkten S3 . Für h im grünen Bereich schneiden die beiden zugehörigen Äquipotentiallinien zwei Scheiben weg, so dass ein Ring übrig bleibt; Eh,l 3 ist dann vom Typ S1 ×S 2 . Im magentafarbenen Bereich gibt es drei koexistierende Äquipotentiallinien, wobei eine eine D 2 begrenzt, die beiden anderen einen Ring; Eh,l 3 ist also die Vereinigung einer S 3 und einer S 1 ×S 2 . Wenn h größer ist als das absolute Maximum des Potentials, ist die ganze Poisson-Sphäre zugänglich, mit endlicher kinetischer Energie in jedem Punkt; Eh,l 3 ist dann eine Poincaré-Sphäre, die topologisch äquivalent zu SO(3) oder auch R 3 ist. So weit, so einfach. Man könnte in diesen beiden integrablen Fällen wie auch im Kovalevskaya-Fall der Frage nachgehen, wie die jeweiligen E 3 h,l durch 104
Abbildung 28: Bifurkations-Diagramme für den Euler-Fall (A 1 , A 2 , A 3 ) = (2, 1.5, 1) (links) und den Lagrange-Fall I: α = 0.505 mit I 1 = 2 (Mitte). Das rechte Bild ist ein Zoom in das kleine weiße Quadrat des mittleren Bildes. Abbildung 29: Bifurkation-Diagramme für die Lagrange-Kreisel der Typen II, A 1 = 1.4, α = 0.757 (links), und III, A 1 = 1, α = 1.5 (rechts). 105
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Deren Konjugation zu (3) gelingt al
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Der Fixpunkt 0 heißt rational indi
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