Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Abbildung 15: Oben links: Arnold-Zungen im Bereich 0 < Ω < 1 (Abszisse),
0 < K < 6 (Ordinate). Zur Farbcodierung siehe den Text. Unten: Bifurkations-
Diagramm für K = 1 (horizontale Linie im Bild darüber); nach oben aufgetragen
sind die Werte von θ, die nach 300 Iterationen ”
im Dunkeln“ bei den nächsten 12
Iterationen noch vorkommen. Rechts: Bifurkations-Diagramm für Ω = 0.5 (vertikale
Linie im Bild links daneben); die 12 Werte von θ, die nach 300 Dunkel-Iterationen
vorkommen, sind hier nach rechts aufgetragen.
Wir erkennen, dass sich in der Umgebung rationaler Ω = p/q mit kleinen
ganzen Zahlen p und q Bereiche synchronisierter Bewegung von θ ausbilden.
Die Breite dieser ”
Zungen“ wächst zunächst mit K, am stärksten bei Ω = 0/1
und 1/2. In einer Zunge p/q ist die Periode des Attraktors q und die Windungszahl
W (siehe unten) p/q. Solange 0 < K < 1 ist, haben bei festem K
sowohl die ”
rationalen Bereiche“ (das ist die Gesamtheit der Zungen) als auch
die ”
irrationalen“ (das sind die Werte von Ω, für die sich kein periodischer
Attraktor einstellt) endliches Maß. Bei K = 1 haben sich die Verhältnisse
gegenüber denen bei K = 0 umgekehrt: das Maß der periodischen Attraktoren
ist jetzt 1 und das der Bahnen mit irrationaler Windungszahl ist Null.
Trägt man für ein gegebenes K ≤ 1 die Windungszahl W des Attraktors
gegen Ω auf, so erhält man die sog. Teufelstreppe. Es handelt sich dabei
um eine stetige monoton nicht fallende Kurve, die für jedes rationale Ω ein
endlich langes horizontales Stück besitzt und dazwischen, bei irrationalen Ω,
anwächst. Die Abb. 16 zeigt für K = 1, wie das gehen kann.
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