Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

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unter Störung auf sich abgebildet wird (was eine starke Forderung an die Dynamik auf den Rand-Kreisen ist). Wenn wir die mathematisch großartigen Ergebnisse dieser Entwicklung beschreiben, sollte uns doch bewusst bleiben, dass die realen physikalischen Verhältnisse noch komplexer sind. 96
6 Die Dynamik starrer Körper Es handelt sich um die Bewegung eines ausgedehnten starren Körpers, der an einem Punkt fixiert ist und sich ansonsten im Gravitationsfeld frei bewegen kann. Wenn der Schwerpunkt mit dem festen Punkt übereinstimmt, spricht man vom Euler-Fall des schwerelosen oder freien Kreisels; die Dynamik hängt dann allein von den drei Haupt-Trägheitsmomenten ab, wobei eines davon durch geeignete Skalierung der Zeit auf 1 gebracht werden kann. Der Euler-Kreisel hat als seine zwei wesentlichen Parameter also nur zwei Verhältnisse von Trägheitsmomenten. Im allgemeinen Fall ist der Schwerpunkt im auf den festen Punkt bezogenen Hauptachsen-System noch ein Vektor mit drei Komponenten, dessen Betrag aber durch Skalierung der Längen auf 1 gebracht werden kann, so dass von hierher zwei weitere wesentliche Parameter kommen. Deshalb wird der starre Körper als System mit drei Freiheitsgraden (z. B. den Euler-Winkeln) und vier Parametern behandelt. Die Herleitung seiner Gleichungen und einige Anmerkungen zu den integrablen Spezialfällen von Euler und Lagrange finden sich im Kapitel Newtonsche Mechanik meiner Vorlesung im Grundkurs Ib, Sommersemester 2006, das ich zur Erinnerung noch einmal auf die Lernplattform stelle. Den dritten integrablen Fall (Kovalevskaya-Kreisel) möchte ich am 21. Dezember anhand eines Film vorstellen. Hier soll es um die allgemeine Diskussion auch der Fälle gehen, in denen die Dynamik nicht integrabel, also in Teilen des Phasenraums chaotisch ist. Im Unterschied zum eingeschränkten Dreikörper-Problem, bei dem es mit dem Massenverhältnis der beiden Hauptkörper nur einen wesentlichen Parameter gibt, haben wir hier vier. Und wenn wir die Sache als Physiker betrachten, kommen noch zwei weitere hinzu: Denn zur Fixierung des einen Punktes, wenn sie relative Orientierung von raumfestem und körperfestem Koordinatensystem nicht einschränken soll, benötigt man eine Vorrichtung, die meist als Cardanische Aufhängung realisiert wird. Diese hat selbst Trägheitsmomente, und sie hat eine Orientierung im Raum. Die Analyse zeigt, dass damit zwei Parameter verbunden sind, die das Verhalten des Körpers wesentlich beeinflussen: eines ist ein effektives Trägheitsmoment I R , das andere ist der relative Winkel δ zwischen vertikaler Achse und der Achse der Aufhängung. Der erste wichtige Unterschied zwischen dem ” mathematischen“ starren Körper ohne und dem ” physikalischen“ mit Rahmen ist, dass die Konfigurationsräume verschieden sind: ersterer bewegt sich in der Menge SO(3) aller relativen 97
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• Konjugation und Äquivalenz dyn
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• Zentrumsmannigfaltigkeiten: Ver
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1 Konjugation von Abbildungen In de
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2 Iteration rationaler Abbildungen
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Der Fixpunkt 0 heißt rational indi
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ihre Kettenbruchentwicklungen sind
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5. Γ ist die Vereinigung von n Her
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Abbildung 1: Mandelbrot-Menge im Fe
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einen lokalen Bereich im Raum der S
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Der Abstand zur Nullstelle z ∗ ve
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Mengen ausführlich beschrieben. 4
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Es ist nicht möglich, für alle λ
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kurz zuvor in anderem Zusammenhang
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man links und rechts Beispiele für
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Abbildung 9: Drei Zooms in die Mand
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der ungestörten Abbildung sind all
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Orbits. Man kann verschiedene Serie
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Periode 2 ab. (Dies wird in der Dem
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Man verwechsle nicht die Eigenwerte
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Seite 47 und 48: eine reibungsfreie Bewegung beschre
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Seite 83 und 84: Zum Verständnis der Abbildung beda
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