Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

In Wirklichkeit möchte man natürlich die x i bei gegebenem Massenverhältnis
µ wissen. Dazu muss man die Wurzeln von Polynomen fünften Grades
bestimmen, was in der Praxis mit Hilfe des Newton-Verfahrens gemacht wird.
Das ist nicht problematisch. Mit den so gewonnenen Librationspunkten und
den zugehörigen Werten des Jacobi-Potentials zeichnet man dann das Potentialgebirge
so, dass die Sattelverbindungen gut zu erkennen sind.
Es zeigt sich, dass der Limes µ → 0 in zweierlei Hinsicht nicht trivial ist. Zum
Einen ist er verschieden vom Kepler-Limes, bei dem der dritte Körper nur
die Sonne verspürt. Denn wenn er nur nahe genug bei Jupiter ist, verspürt
er dessen Gravitationsfeld. Quantitativ findet man für kleine Werte von µ
x 1,2 = 1 ∓ (µ/3) 1/3 + 1 3 (µ/3)2/3 , x 3 = −1 + 7 µ, (120)
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woraus sich die Potentialwerte
V 1,2 = − 3 2 − 9 2 (µ/3)2/3 + (2 ∓ 1 3 )µ, V 3 = − 3 2 − 1 2 µ + 1
96 µ2 (121)
ergeben. Die x-Werte der Jupiter-nahen Librationspunkte L 1 und L 2 unterscheiden
sich um 2(µ/3) 1/3 , was selbst bei kleinem µ nicht mehr klein
ist. Wenn man nur geeignet skaliert, bleibt die Umgebung des Jupiter ein
Nicht-Kepler-Bereich“. Quantitativ gilt Folgendes. Führt man für kleine µ
”
in der Umgebung von Jupiter die Variablen ξ und η gemäß x = 1 + µ 1/3 ξ
und y = µ 1/3 η ein, dann findet man in der Ordnung µ 1/3 die µ-unabhängigen
Hill-Gleichungen
¨ξ = 2 ˙η + 3ξ − ξ ρ 3 , ¨η = −2 ˙ξ − η ρ 3 , (122)
wobei ρ = √ ξ 2 + η 2 . Mit diesen Gleichungen hat Hill sich dem Mond-
Problem (dritter Körper neben Sonne und Erde) genähert. Sie haben keinen
Parameter, aber eine Konstante der Bewegung:
E H = 1 2 ( ˙ξ 2 + ˙η 2 ) − 1 ρ − 3 2 ξ2 . (123)
Physikalisch gesprochen berücksichtigt das Hill-Problem von einer unendlich
entfernt gedachten Sonne genau nur den Quadrupol-Anteil in einer Multipol-
Entwicklung des Potentials. Es ist für sich genommen ein nicht-integrables,
aber hoch interessantes Problem, das die Verhältnisse in der Umgebung eines
im Vergleich zur Sonne massearmen Planeten beschreibt.
Der zweite nicht-triviale Aspekt des Limes µ → 0 zeigt sich im Inneren des
S-Bassins, also des Einzugsbereichs der Sonne. Denn selbst wenn wir dort
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