Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Die Auflösung nach E gibt die Darstellung der Hamilton-Funktion durch
Wirkungen,
−1
E =
2(I r + |I φ |) . (136)
2
Die Energie ist hiermit als Funktion der beiden Wirkungen dargestellt. Da
man eine kanonische Transformation so konstruieren kann, dass die Wirkungen
die neuen Impulse sind (die zugehörigen Winkel ergeben sich aus der
erzeugenden Funktion), lässt sich dies als Hamilton-Funktion auffassen, wobei
diese eben nicht von den Winkeln abhängt. Deshalb ist klar, dass die
Wirkungen Konstanten der Bewegung sind, und die beiden Winkel haben
die konstanten Winkelgeschwindigkeiten
ω φ = ∂E
∂I φ
=
±1
(I r + |I φ |) 3 = ±a−3/2 , ω r = ∂E
∂I r
=
woraus sich die Windungszahl
1
(I r + |I φ |) 3 = a−3/2 ,
(137)
W = ω φ
ω r
= − ∂I r
∂I φ
∣ ∣∣E
= ±1 (138)
ergibt. Sie ist unabhängig von den Wirkungen wie bei einem harmonischen
Oszillator; das ist aber ein ansonsten untypisches Verhalten integrabler Systeme.
Da der Winkelteil des so zurechtgebogenen“ Phasenraums trivial ist – zu
”
jedem Paar von Impulsen (I φ , I r ) ist es ein Standard-Torus – enthält die
Funktion H = H(I φ , I r ) alle relevante Information. Wir lesen sie an den Linien
H = E = const in der (I φ , I r )-Ebene ab: bei gegebenem E = −1/2a
bilden sie ein Zelt“ über dem Bereich − √ a ≤ I ” φ ≤ √ a, mit Spitze bei
(I φ , I r ) = (0, √ a). (Anmerkung: die Wirkung I r muss ≥ 0 sein, da es sich
in der (r, p r )-Ebene um eine Oszillation der Variablen r handelt; dagegen
kann I φ = L beide Vorzeichen annehmen, da der Winkel φ rotiert.) Die Eckpunkte
(I φ , I r ) = (± √ a, 0) des Zeltes bedeuten Kreisbewegung, die Spitze
(I φ , I r ) = (0, √ a) entspricht der Stoßbewegung. Die Vektoren der Winkelgeschwindigkeiten
ω = (ω φ , ω r ) stehen überall senkrecht auf den Niveaulinien
H = E; deren Steigung gibt die Windungszahl an. Diese geometrische Interpretation
der Funktionen H = H(I) ist bei integrablen Systemen immer
möglich.
Die Transformation auf das mit der Frequenz 1 rotierende Koordinatensystem
kann mit der erzeugenden Funktion
F 2 (r, φ, ˜p r , ˜p φ , t) = r˜p r + (φ − t)˜p φ (139)
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