Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

unter Parametervariation, kehrt also in den elliptischen Bereich zurück) sowie
W = 1/3 und W = 1/4 (siehe hierzu Appendix 7 in V. I. Arnolds Buch
Mathematical Methods of Classical Mechanics).
In der Vorlesungs-Demo wird die Bifurkation des elliptischen Orbits der Periode
1 bei K = 4 (R = 1) gezeigt, die zwischen K = 6.3 und K = 6.4
wiederum eine Periodenverdopplung erfährt (bei p in der Nähe von π). Bei
etwa K = 6.3 entsteht in der Umgebung von (θ, p) = (π/4, 0) ein elliptischer
Fixpunkt, der offenbar nicht selbst symmetrisch ist, wohl aber einen symmetrischen
Partner hat. Er wächst in seiner Größe zunächst an, hat bei 6.6
in etwa eine interne Windungszahl 1/4, die dann bei 7 auf 1/3 und bei 7.1
auf 1/2 anwächst.
Es ist nicht klar, in welchem Maße das Chaos, das man bei starken Störungen
antrifft, von regulären Bereichen sehr kleiner Durchmesser durchsetzt
ist. Es gibt zum Einen das Bild der fetten Fraktale, wonach das Chaos
einen Phasenraum-Bereich voller Dimension einnimmt, aber mit Löchern aller
Größenordnungen durchsetzt ist. Zum Andern kann man in einigen wenigen
Fällen mathematisch streng beweisen, dass das Chaos vollständig ist,
d. h. es gibt keine stabilen periodischen Orbits (Beispiel: Stadionbillard).
Was nun die hyperbolischen Punkte anbetrifft, so hat Eduard Zehnder (Zürich)
dazu in den 70er Jahren einen wichtigen Beitrag geleistet, indem er gezeigt
hat, dass sie normalerweise als Zentren von Chaosbändern anzusehen
sind, und zwar deswegen, weil ihre stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten
transversale homokline oder heterokline Schnittpunkte haben, woraus
dann die Existenz von Smale-Horseshoes folgt, d. h. von invarianten instabilen
Cantormengen, auf denen die Abbildung in einem bestimmten Sinne
chaotisch ist. Bevor wir darauf eingehen, soll noch das KAM-Theorem diskutiert
werden.
(Abstract eines Vortrags von Zehnder am 28. 9. 2004 vor der Leopoldina in
Halle zum Thema ”
Himmelsmechanik und globale perodische Bahnen Hamiltonscher
Dynamischer Systeme“:
Probleme der Himmelsmechanik haben auch im Laufe des letzten Jahrhunderts
zu fundamentalen Entwicklungen der Mathematik Anlass gegeben. Viele
Mathematiker, angefangen von Laplace und Lagrange über Poincaré bis zu
G. Birkhoff und Siegel, fühlten sich insbesondere vom schwierigen Stabilitätsproblem
des Planetensystems herausgefordert. Es handelt sich hier um ein
gewöhnliches Differentialgleichungssystem vom Hamiltonschen Typ, welches
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