Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Hier liegt eine Codierung unmittelbar nahe: man schreibe für x und y ihre
Binärzahldarstellung hin,
x = .x 0 x 1 x 2 ... mit x i ∈ {0, 1},
y = .y 0 y 1 y 2 ... mit y i ∈ {0, 1},
(75)
und repräsentiere den Punkt (x, y) durch die ”
doppelt unendliche Folge mit
Punkt“ ( x
y)
= ...y 2 y 1 y 0 .x 0 x 1 x 2 ... (76)
Die Menge aller dieser Folgen nennen wir Σ 2 . Häufig wird aus Gründen der
einfacheren Notation auch
( x
y)
= ...s −3 s −2 s −1 .s 0 s 1 s 2 ... =: s (77)
geschrieben, wobei also x i = s i und y i = s −(i+1) gesetzt wird. Diese Korrespondenz
der Punkte aus Q(x, y) und der Folgen aus Σ 2 verstehen wir als
eine Abbildung S : Q(, y) → Σ 2 . Auf der Menge Σ 2 kann man eine Metrik
definieren, indem man für zwei Elemente s und t den Abstand
d(s, t) =
∞∑
i=−∞
|s i − t i |
2 |i| (78)
einführt. Mit Hilfe dieser Metrik kann man diskutieren, wann eine Folge gegen
eine andere konvergiert: der Abstand wird um so kleiner, je mehr Elemente,
vom Punkt zwischen s −1 und s 0 aus gesehen, übereinstimmen; das heißt dann
auch, dass die entsprechenden (x, y) zusammenrücken. Schießlich erlaubt die
Metrik, die Stetigkeit der Abbildung S zu definieren und zu beweisen: sie ist
eineindeutig, surjektiv und in beiden Richtungen stetig, also ein Homeomorphismus.
(Das wird z. B. in dem Buch von Devaney bewiesen.)
Diskutieren wir jetzt, wie ein Schritt der Bäcker-Abbildung (vorwärts oder
rückwärts) sich in der zu (x, y) gehörigen Folge ausdrückt. Anhand von Bildern
macht man sich klar, dass die Konjugation
S ◦ B = σ ◦ S (79)
gilt, wobei σ : Σ 2 → Σ 2 die Shift-Abbildung auf den Symbolfolgen ist:
σ : ...s −3 s −2 s −1 .s 0 s 1 s 2 ... ↦→ ...s −3 s −2 s −1 s 0 .s 1 s 2 ... (80)
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