Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

−20 < τ < 10 gezeigt. Die großen positiven und negativen Werte hat man
(rote Kurven) da, wo die I r als Funktionen von W durch ein Minimum gehen,
vgl. Abb. 24, aber auch die blauen Bahnen vom Typ 4. entwickeln mit
wachsendem I r einen immer größeren negativen Twist. Das eigenartige von
I r unabhängige lokale Maximum von τ bei τ ≈ −9.2 erhält man durch Differenzieren
von (149) nach W (bei L > 0), woraus sich für das Maximum
W = −3/2 und τ = −2(5/2) 5/3 ergibt.
Abbildung 25: Twist τ (Abszisse) als Funktion der Wirkung I r (Ordinate, 0 bis 1)
für verschiedene E J . Links: L < 0 mit (von links nach rechts): E J = −0.5, −0.75,
−1.0, −1.25, −1.5, −1.75, −2.0. Die τ-Skala reicht von −1 bis 0. Rechts: L > 0
mit E J = −0.75, −1.0, −1.25 (rote Kurven von oben nach unten), −1.5 (schwarze
Kurve), −1.6, −1.75, −2.0 (blaue Kurven). Die τ-Skala reicht von −20 bis 10.
Welches Bild erhalten wir daraus über den vierdimensionalen Phasenraum
des Kepler-Problems im rotierenden Bezugssystem? Soweit wir nur gebundene
Bahnen in Betracht ziehen, haben wir die vier Bereiche, die Abb. 23 in
Projektion auf die Ebene der beiden Wirkungen zeigt. Die darüber liegenden
zwei Dimensionen können wir uns so vorstellen, dass an jedem Punkt (I ϕ , I r )
ein Standard-Torus mit Winkeln ϑ ϕ und ϑ r angeheftet ist, auf dem der Fluss
gemäß
(ϑ ϕ (t), ϑ r (t)) = (ϑ ϕ (0), ϑ r (0)) + (ω ϕ , ω r )t (150)
” glattgekämmt“ ist. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeiten ω = (ω ϕ, ω r )
ist dabei ein von (I ϕ , I r ) abhängiger Vektor, den wir als Gradient der Linien
E J = const ablesen können. Nehmen wir jetzt einen dieser Tori in den Blick,
so können wir die ihn betreffende Information reduzieren, indem wir ihn
längs z. B. des Kreises ϑ r = 0 anschneiden“. Dieser Kreis wird von der
”
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