Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Insofern S ein Homeomorphismus ist, nennt man die Abbildungen B und S
zueinander topologisch konjugiert.
Dies hat weitreichende Konsequenzen für unser Verständnis der Bäcker-Abbildung,
denn topologisch konjugierte Abbildung sind im Hinblick auf ihre Dynamik
vollkommen äquivalent: Fixpunkte und periodische Orbits entsprechen einander,
auch die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von (periodischen)
Orbits, die entweder vorwärts oder rückwärts in der Zeit auf den betrachteten
Orbit zulaufen. All dies kann anhand der Shift-Abbildung sehr leicht
diskutiert und dann auf die Bäcker-Abbildung übertragen werden. Das gilt
auch für die wichtige Eigenschaft der topologischen Transitivität: eine Abbildung
heißt topologisch transitiv, wenn sie dichte Orbits hat, also einzelne
Orbits, deren Abschluss die ganze Menge ist.
Diese letztere Eigenschaft ist für Σ 2 mit der shift map relativ leicht zu zeigen.
Man konstruiert einen Orbit, der jedem Punkt in Σ 2 beliebig nahe kommt.
Für ein explizites Beispiel sei auf Abschnitt 4.1C in Wiggins’ Buch verwiesen.
Einfach zu diskutieren ist auch die Gesamtheit der periodischen Orbits: sie
bestehen aus Teilsequenzen s 1 ...s n , die sich immer wiederholen. Offenbar gibt
es 2 n verschiedene periodische Punkte der Periode n, entsprechend den 2 n
verschiedenen Symbolfolgen aus zwei Elementen. 8 Die beiden Fixpunkte (n =
1) sind 9 0.0 und 1.1, entsprechend den Punkten (x, y) = (0, 0) und (1, 1). Die
beiden zusätzlichen Punkte der Periode 2 erhält man aus 01.01 und dessen
Bild unter σ, 10.10; sie bilden einen Orbit der Periode 2, bestehend aus
den Punkten (x, y) = ( 1, 2) und ( 2, 1 ). Die 8 Punkte der Periode 3 sind
3 3 3 3
die beiden Fixpunkte und zwei Orbits der Periode 3, die mit 001 und 011
gebildet werden, entsprechend den Punkten ( 1, 4) → ( 2, 2) → ( 4, 1) →
7 7 7 7 7 7
( 1, 4) und ( 3, 6) → ( 6, 3) → ( 5, 5) → ( 3, 6 ). Schließlich macht man sich
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
leicht klar, dass die periodischen Orbits dicht in Σ 2 liegen, denn gegeben
irgendein s = ...s −2 s −1 .s 0 s 1 s 2 ..., dann betrachte man die Sequenzen t n =
..., s −n ...s n , s −n ...s n , ... von periodischen Orbits, die dem vorgegebenen im
Sinne der Metrik d(s, t) immer näher kommen. Zusammengefasst können
wir sagen, dass σ auf Σ und darum die Bäcker-Abbildung auf Q(x, y) die
8 Dabei zählt ein Orbit mit der periodisch wiederholten Sequenz 0101 mit zu den Orbits
der Periode 4, auch wenn er bereits als Orbit der Periode 2 auftrat. Die Frage, wie
viele Orbits der Periode n existieren, die nicht schon eine kleinere Periode haben, ist ein
schwieriges zahlentheoretisches Problem, dessen Lösung, soweit ich weiß, Gauß gefunden
hat.
9 s 1 ...s n soll bedeuten, dass die Sequenz s 1 ...s n periodisch zu wiederholen ist; rechts
(links) vom Dezimalpunkt nach rechts (links).
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