Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Deren Konjugation zu (3) gelingt also mit y = −λz + λ/2, und
c = λ (
1 − λ )
⇔ λ = 1 ± √ 1 − 4c. (8)
2 2
Es gibt also zu jedem c ≠ 1/4 zwei Werte λ, die symmetrisch zu λ = 1 liegen.
Statt der Abbildung (3) könnten wir auch die logistische Abbildung als
Standardform wählen, aber die komplexe λ-Ebene enthält die Information,
die uns die c-Ebene liefert, doppelt.
Übungsaufgabe: Bestimmen Sie die Mandelbrotfigur der Abbildung (7), verstanden
als Abbildung der komplexen z-Ebene auf sich.
Übungsaufgabe: Zeigen Sie, dass die allgemeine Abbildung dritten Grades,
x ← x ′ = f(x) = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D, linear konjugiert ist zu der 2-
Parameter-Familie z ← z ′ = F (z) = z 3 + bz + c. Drücken Sie b, c durch
A, B, C, D aus.
Wenn es nur um qualitative Verwandtschaft zweier dynamischer Systeme
geht, etwa um die Frage der Existenz periodischer Orbits und ihres Verzweigungsschemas,
reicht die topologische Konjugation als Basis der Äquivalenzrelation.
Da reicht es dann in (1), dass die Abbildung h ein Homeomorphismus
ist. Näheres dazu findet man in dem Buch von Devaney.
Es ist auch möglich, den Begriff der Konjugation zu erweitern aus Semi- ”
Konjugation“, wenn nämlich die Abbildung h nicht 1:1, sondern 2:1 ist. Ein
Beispiel ist die Semi-Konjugation der speziellen logistischen Abbildung F :
[0, 1] → [0, 1], x ↦→ F (x) = 4x(1 − x) zur Hutabbildung“
”
{
2y falls y < 1/2,
H : [0, 1] → [0, 1], y ↦→
(9)
2(1 − y) falls y > 1/2.
Die Konjugation geschieht mit der Abbildung
h : [0, 1] → [0, 1], y ↦→ x = h(y) = sin 2 (πy), (10)
die wie H und F das Einheitsintervall zweimal auf sich abbildet; es gibt
deswegen nicht h −1 , aber man kann immer noch zeigen
wir rechnen nach
F (h(y)) = h(H(y)) bzw. F ◦ h = h ◦ f; (11)
F (h(y)) = 4 sin 2 (πy) cos 2 (πy) = sin 2 (2πy) = h(H(y). (12)
9