Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

3 Die Standard-Abbildung von Chirikov
Die sogenannte Standard-Abbildung wurde von Chirikov 1979 als Prototyp
des lokalen Verhaltens einer Poincaré-Abbildung eingeführt. Sie lautet
( ) ( ) ( ) ( )
θn θn+1 θn θn + p
↦→ = M =
n − K sin θ n
, (37)
p n p n+1 p n p n − K sin θ n
wobei (θ, p) etwa als Winkel- und Wirkungsvariablen auf einer Poincaré-
Schnittfläche gemeint sind; dabei variiere ϕ von 0 bis 2π auf einem Kreis,
während r auf einem reellen Intervall, der reellen Achse oder ebenfalls auf einem
Kreis variiere – je nachdem ist die Schnittfläche ein Ring (Annulus), ein
Zylinder oder ein Torus. (Es ist aber für das Folgende nicht wesentlich, dass
θ und p wie hier zueinander konjugiert sind; mit anderen Worten, es muss
nicht gelten, dass die Abbildung flächentreu ist, es reicht eine sog. ”
Schnittbedingung“,
siehe unten.)
Man kann die Abbildung einführen über die Diskussion des gekickten Rotators“.
Das ist eine Bewegung auf dem Kreis unter der Einwirkung einer
”
periodischen Stoßens,
∞∑
¨θ = Kf(θ) δ(t − nT ), (38)
n=0
wobei T = 1 die Periode des Stoßens ist, f(θ) die Winkelabhängigkeit und K
die Stärke der Stöße. Wenn wir wie üblich die Dgl. zweiter Ordnung in zwei
Gleichungen erster Ordnung umwandeln,
∞∑
˙θ = p, ṗ = Kf(θ) δ(t − n), (39)
dann können wir die p-Gleichung folgendermaßen lösen. Zwischen zwei Stößen
n und n+1 ist p konstant, aber beim n-ten Stoß hatte es sich verändert gemäß
p n+1 = p n + Kf(θ n ). Da nun in diesem Zeitintervall die Geschwindigkeit bekannt
ist, können wir auch das neue θ angeben: θ n+1 = θ n + p n+1 . Mit der
Wahl f(θ) = − sin θ kommen wir auf die Standard-Abbildung.
n=0
Die Abbildung M ist nichtlinear. Ihre Linearisierung ist
DM =
∂M ( )
1 − K cos
∂(θ n , p n ) = θn 1
−K cos θ n 1
(40)
mit det DM = 1, also Flächentreue. Wir bezeichnen die Abbildung M mit
K = 0 als ungestörte Twistabbildung und die Terme ∝ K als Störung. In
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