Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

4 Arnold-Zungen, Lyapunov-Exponenten
Das Folgende stützt sich weitgehend auf die Kapitel 5 und 8 des Buches Die
Erforschung des Chaos von J. Argyris, G. Faust, M. Haase, Verlag Vieweg
1995 (AFH), das sich seinerseits auf Bücher von Wiggins und Guckenheimer/Holmes
sowie Arbeiten von Arnold bezieht. Die Darstellung kann deshalb
knapp gehalten sein, mit Hinweisen auf die entsprechenden Abschnitte
bei AFH.
Thematisch geht es um dissipative Systeme, bei denen die Dynamik entweder
als kontinuierliche durch einen Satz von n nichtlinearen Differentialgleichungen
1. Ordnung
ẋ = F (x), x t = (x 1 , ..., x n ), F t = (F 1 , ..., F n ), (97)
oder als diskrete durch einen Satz von n nichtlinearen Differenzengleichungen
x k+1 = f(x k ), x t = (x 1 , ..., x n ), f t = (f 1 , ..., f n ), (98)
beschrieben wird. In Abschnitt AFH 5.1 wird gezeigt, dass mit der Dynamik
solcher Systeme eine Volumenänderung im Phasenraum einhergeht, die man
im kontinuierlichen Fall wie folgt berechnet. Sei in kartesischen Koordinaten
ein Volumenelement ∆V (x) = ∏ i ∆x i(x) gegeben. Für die Rate seiner
Änderung findet man durch Einsetzen der Bewegungsgleichungen entlang der
Trajektorie x(t)
Λ(x) :=
1 d∆V (x)
∆V (x) dt
= ∑ i
∂F i
∂x i
= ∇ · F = TrD , (99)
wobei D = ∂F /∂x die Jacobi-Matrix der Dgl ist. Für diskrete Systeme gilt
analog
∆V k+1
∆V k
= | det D(x k )| , (100)
wobei D(x k ) = ∂f/∂x an der Stelle x = x k ist. Wenn wir von dissipativer
Dynamik sprechen, dann meinen wir, dass das Volumen kleiner wird, also
TrD < 0 bzw. | det D(x k )| < 1. Die Kontraktionsrate kann dabei von x
abhängen. Im Beispiel des Lorenz-Systems
ẋ = −σ(x − y)
ẏ = rx − y − xz
ż = −bz + xy
(101)
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