Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Dessen Topologie hängt aber von den Werten (h, l) ab, und deshalb ist die
Bestimmung der entsprechenden Bifurkations-Diagramme eine wichtige Aufgabe.
Dabei handelt es sich um Folgendes.
Für die meisten Wertepaare (h, l) ist Eh,l
3 für gegebene Trägheitsmomente
und Schwerpunktskoordinaten eine glatte 3-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Die Ausnahme bilden die Werte (h, l), für die die sog. Impuls-Abbildung
F : (γ, l) ↦→ (h, l) (166)
singulär ist, also DF einen Rang < 2 hat. Man nennt diese (h, l) die kritischen
Werte der Impuls-Abbildung, in ihrer Gesamtheit bilden sie das Bifurkations-
Diagramm Σ. Die Punkte (γ, l) im Phasenraum, an denen F singulär ist,
heißen kritische Punkte. Es handelt sich dabei um die schon erwähnten relative
Gleichgewichte, die stationären Lösungen der Euler-Poisson-Gleichungen.
Man findet sie, indem man das effektive Potential auf der Poisson-Kugel betrachtet.
Wann immer man eine Winkelvariable durch Separation aus den Bewegungsgleichungen
eliminiert, bleibt ein in dem entsprechenden Drehimpuls quadratischer
”
Zentrifugalterm“ zurück, den man dem Potential zuschlagen kann.
So auch hier. Man findet für das gesamte effektive Potential
U l (γ) =
l 2
+ s · γ. (167)
2(I 1 γ1 2 + I 2 γ2 2 + I 3 γ3) 2
Der Ausdruck γ · Iγ im Nenner ist zu interpretieren als das Trägheitsmoment
bzgl. der vertikalen Achse, bzgl. der ja auch der Winkel ϕ absepariert
wurde. Einige Illustrationen müssen hier ausreichen; weitere Informationen
finden sich in der Literatur und in dem Dateiordner ”
Begleitmaterial“ zur
Vorlesung auf der Lernplattform.
Im Euler-Fall ist s = 0 und es gibt nur das Zentrifugal-Potential. Dieses hat
ein Minimum bei Rotation um die Achse mit dem größten Trägheitsmoment
(hier die 1-Achse), ein Maximum bei Rotation um die Achse mit dem kleinsten
Trägheitsmoment (hier die 3-Achse) und einen Sattel bei Rotation um
die Achse mit dem mittleren Trägheitsmoment (hier die 2-Achse). Im sog.
Reeb-Graphen der Abb. 27 (ganz links) kann man den Potentialverlauf ablesen;
jeder Punkt der schwarzen Linien steht dort für eine Äquipotentiallinie.
Der Lagrange-Fall ist komplizierter und benötigt eine etwas ausführlichere
Diskussion. Wir wählen die 1-Achse als Symmetrieachse und charakterisieren
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