Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Man verwechsle nicht die Eigenwerte µ 1,2 der Monodromie-Matrix mit den
λ 1,2 , die die quadratische Form Q charakterisieren. Das ist bei den elliptischen
periodischen Orbits ohnehin kaum möglich, da die µ i komplex und die
λ i reell sind. Aber im Fall der hyperbolischen Orbits ist das vielleicht etwas
gewöhnungsbedürftig. Denn die Hauptachsen der Hyperbeln sind Richtungen,
bzgl. derer sie symmetrisch sind, während die Eigenvektoren von DM k
in Richtung der Asymptoten zeigen. Der Eigenvektor zum Eigenwert µ i mit
|µ i | > 1 zeigt in die sogenannte instabile Richtung; Punkte, die darauf liegen,
werden vom Fixpunkt weg iteriert (bei invers hyperbolischen Punkten mit
alternierendem Wechsel der beiden Zweige). Der Eigenvektor zum Eigenwert
µ j mit |µ j | < 1 zeigt in die sogenannte stabile Richtung; Punkte, die darauf
liegen, werden zum Fixpunkt hin iteriert. Eine Frage, die uns noch ausgiebig
beschäftigen wird, betrifft die Fortsetzung der Eigenrichtungen zu µ 1,2 über
den linearen Bereich hinaus. Offenbar muss der Eigenvektor der instabilen
Richtung tangential zu einer eindimensionalen Menge sein, die sich unter Iteration
immer weiter verfolgen lässt; die Frage ist: wohin? Und ebenso muss
der Eigenvektor der stabilen Richtung tangential zu einer eindimensionalen
Menge sein, die sich unter Rückwärts-Iteration immer weiter verfolgen lässt;
die Frage ist wieder: wohin? Man nennt die hierdurch definierten Mengen
die instabilen bzw. stabilen Mannigfaltigkeiten der hyperbolischen Punkte,
nach einem Vorschlag von R. Abraham auch outsets und insets. Die Eigenschaften
dieser Mengen sind i. A. aufs Engste mit dem chaotischen Verhalten
der betrachteten Systeme verknüpft. Man kann sagen: während die elliptischen
periodischen Orbits mit den sie umgebenden invarianten Ellipsen den
regulären Teil der Dynamik eines Systems repräsentieren, sind die hyperbolischen
Orbits mit den von ihnen ausgehenden insets und outsets das Herz
der chaotischen Bereiche des Phasenraums.
Das Poincaré-Birkhoff-Theorem
Wir hatten durch Experimentieren mit der Standard-Abbildung gesehen,
dass aus den im ungestörten System K = 0 parabolischen invarianten Linien
mit rationalen Windungszahlen W = p/q mehr oder weniger auffällige
Ketten mit q Inseln werden, deren Zentren elliptische periodische Orbits der
Periode q sind und zwischen denen hyperbolische periodische Punkte derselben
Periode liegen. Während die Tori des ungestörten Systems hinsichtlich
der q-periodischen Orbits unendlichfach entartet sind, hat das gestörte System
nur noch 2q periodische Punkte, die je einen elliptischen und einen
hyperbolischen Orbit bilden. Deren Lagen werden durch Symmetrien des Sy-
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