Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

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der n-ten Iterierten das Produkt der Ableitungen längs des Orbits und (b) der Logarithmus des Produkts die Summe der Logarithmen ist. Diese Formel kann benutzt werden, wenn es sich um ein-dimensionale Abbildungen handelt wie hier. Bei einer Dynamik mit f Freiheitsgraden kann man f verschiedene Lyapunov-Exponenten unterscheiden; dazu sei auf Aryris/Faust/Haase oder andere Literatur verwiesen. Der Lyapunov-Exponent gibt an, wie rasch sich das Chaos in der Zeit ausbreitet. Das muss nichts zu tun haben mit dem, was die geometrische oder die symbolische Charakterisierung über das Chaos sagen. In der Mechanik gibt es viele Beispiele, wo das Chaos geometrisch vollständig ist, dynamisch aber (unendlich) lange Zeit benötigt, um sich auszubilden – etwa beim Stadion- Billard mit infinitesimal kurzen geraden Verbindungsstücken zwischen den Halbkreisen. Wenn das System periodische Attraktoren hat, sind die Ableitungen |f ′ (θ i )| < 1 und daher λ < 0; wenn der periodische Attraktor sogar superstabil ist, gilt |f ′ (θ i )| = 0 und darum λ → −∞. Bei parabolischer Dynamik, etwa bei integrablen Hamiltonschen Systemen, ist |f ′ (θ i )| = 1 und darum λ = 0. Exponentielle Divergenz bedeutet |f ′ (θ i )| > 1 und darum λ > 0. Chaos im dynamischen Sinn spiegelt sich also in positiven λ wider. Die Abb. 18 und 19 zeigen Lyapunov-Exponenten für konstantes K bzw. konstantes Ω. Bei K = 1 (und allgemeiner bei K ≤ 1) sind alle λ ≤ 0; sie sind = 0 dort, wo die Windungszahlen irrational sind, und < 0 im Inneren der Zungen; bei K = 0 sind alle λ = 0. Wenn K > 1, gibt es Werte von Ω, für die λ > 0 ist; das ist dann eine Signatur des dynamischen Chaos. Dieses kann mit periodischen Orbits oder auch mit Denjoy-Mengen koexistieren (die Denjoy-Mengen selbst wird man ohne größeren numerischen Aufwand nicht sehen können, da sie als Cantor-Mengen zu ” dünn“ sind). Dass es diese Koexistenz gibt, erkennt man an der Asymmetrie des Bildes für K = 3 (unterer Teil der Abb. 19); sie rührt daher, dass der Anfangspunkt θ 0 = 0.2 eben nur einen der beiden (oder mehr?) Attraktoren erreicht. 76
Abbildung 18: Oben links: Arnold-Zungen im Bereich 0 < Ω < 1 (Abszisse), 0 < K < 6 (Ordinate). Unten: Lyapunov-Exponent für K = 1 (horizontale Linie im Bild darüber); nach oben aufgetragen sind die Werte von λ im Bereich (−1.5, 1.5). Rechts: Lyapunov-Exponent für Ω = 0.5 (vertikale Linie im Bild links daneben); λ ist als Abszisse von 1.5 bis −1.5 aufgetragen. Abbildung 19: Wie Abb. 18, aber mit K = 3 (unten) und Ω = 0.35 (rechts). 77
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• Zentrumsmannigfaltigkeiten: Ver
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1 Konjugation von Abbildungen In de
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Deren Konjugation zu (3) gelingt al
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2 Iteration rationaler Abbildungen
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Der Fixpunkt 0 heißt rational indi
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ihre Kettenbruchentwicklungen sind
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5. Γ ist die Vereinigung von n Her
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Abbildung 1: Mandelbrot-Menge im Fe
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erlaubt. Denn im Vergleich zur allg
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einen lokalen Bereich im Raum der S
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