Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

erlaubt. Denn im Vergleich zur allgemeinen Familie von Polynomen dritten
Grades liegen hier nur drei Einschränkungen vor: (i) der Schwerpunkt der drei
Nullstellen ist 0, (ii) eine der drei Nullstellen liegt auf der positiven reellen
Achse, und (iii) die Skala ist so gewählt, dass diese Nullstelle bei z = 1 liegt.
Dann ist
N(z) =
2z3 + λ
3z 2 + λ − 1 . (29)
Diese Abbildung hat den Grad 3 und 4 kritische Punkte: die drei Nullstellen
von f(z), die damit zu superattraktiven Punkten werden, und z = 0.
Je nachdem, wie die vierte Nullstelle 0 sich unter Iteration verhält, mag
es einen vierten Attraktor geben oder nicht. Das entsprechende Experiment
wurde von Curry, Garnett und Sullivan durchgeführt (Comm. Math. Phys.
91(1983) 267-278) und ist weiter unten beschrieben.
Dort wird ein Kapitel aus meiner ”
Weihnachtsvorlesung“ zum Grundkurs
Physik Ia, WiSe 2005/06, wiederholt. Einige Hörer dieses Kurses hatten es
damals gehört, lesen es aber jetzt vielleicht mit anderem Verständnis. Überschneidungen
mit dem oben Stehenden bitte ich zu entschuldigen; dafür werden
Sie mit Bildern belohnt.
Zum Abschluss dieses Kapitels sollen noch einige Gedanken zum Thema ”
Was
hat das alles mit Chaos zu tun?“ folgen. Die Frage hat zwei Antworten. Die
erste wurde bereits gegeben: die Dynamik auf der Julia-Menge ist chaotisch
in dem Sinne, dass je zwei ”
typische“ Punkte dieser Menge, die anfangs nahe
benachbart sein mögen, ihren Abstand exponentiell vergrößern (dynamische
Charakterisierung des Chaos durch positiven Lyapunov-Exponenten). Das
gilt auch für benachbarte periodische Orbits, aber natürlich nur so lange, bis
der Abstand die Größenordnung 1 erreicht hat. Periodische Orbits liegen in
der Julia-Menge dicht, jeder für sich zeigt natürlich regelmäßiges Verhalten,
aber alle diese Orbits sind instabil.
Eine andere Antwort auf die gestellte Frage geht tiefer. Sie bezieht sich auf
die Tradition der Turbulenz-Theorie, in der man turbulentes Verhalten einer
Flüssigkeit (z. B. unter Scherspannung in einem Rohr oder unter Erwärmung
von einer Heizplatte) als dynamisches Chaos interpretiert und sich fragt,
nach welchen Szenarien der Übergang von regulärem Verhalten (laminarer
Strömung) zur Turbulenz passiert. Diese Frage hat eine lange Geschichte, zu
der L. D. Landau einen der ersten Vorschläge machte, indem er bei Erhöhung
der treibenden Kräfte das Einsetzen immer neuer Fourier-Moden postulierte,
die Turbulenz also als eine Bewegung beschrieb, die man prinzipiell durch ein
Fourier-Spektrum mit abzählbar vielen Peaks zu verstehen hatte. Dieses Bild
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