Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Sie bringt neben der ψ-Abhängigkeit der kinetischen Energie eine andere ψ-
Abhängigkeit ins Spiel, wenn der Schwerpunkt nicht auf der 3-Achse liegt.
Sie bleibt auch dann noch bleibt, wenn der Körper vom Standpunkt der
Trägheitsmomente symmetrisch ist, I 1 = I 2 . Das System dürfte also selbst
dann chaotisch sein.
Es gibt also mit Cardan-Rahmen noch eine Reihe von Problemen, die effektiv
auf solche mit zwei Freiheitsgraden reduziert und mit ähnlichen Methoden behandelt
werden können. Der reduzierte Konfigurationsraum ist dann jeweils
ein 2-Torus. Als Poincaré-Schnittbedingung bietet sich wieder ds · γ/dt = 0
an, wobei über eine sinnvolle Projektion auf zwei Kopien des Konfigurationsraums
noch nachzudenken wäre. Leider wird man es hier nicht vermeiden
können, mit den Euler-Cardan-Winkeln und daher auch mit Winkelfunktionen
zu arbeiten. Die größere Herausforderung liegt aber zweifellos darin, die
Systeme zu verstehen, die nicht auf effektiv zwei Freiheitsgrade reduziert
werden können. Dort ist die Energiefläche 5-dimensional, und es ist nicht erkennbar,
wie man invariante Mengen niederer Dimension identifizieren sollte.
Eine Methode, die vielleicht Hilfe verspricht, stammt von dem Himmelsmechaniker
J. Laskar, Frequency analysis for multi-dimensional systems. Global
dynamics and diffusion, Physica D67 (1993) 257-281.
Wenn man bedenkt, wie schwierig es ist, strenge Aussagen für Systeme mit
nur drei Freiheitsgraden zu erzielen, mag es abenteuerlich erscheinen, das
Verhalten von Systemen verstehen zu wollen, bei denen es um Größenordnungen
mehr relevante Freiheitsgrade gibt. Im Rahmen der makroskopischen
Thermodynamik haben wir uns daran gewöhnt, dass das Gesetz der großen
Zahlen dann doch nur wenige relevante Observablen übrig lässt (Temperatur,
Druck, chemisches Potential). Aber wenn es um Turbulenz geht, um
Wetter- und Klimageschehen, allgemein um Systeme, bei denen auf etlichen
Skalen viele Observablen relevant sind (das Gehirn!), dann muss man wohl
den Mut aufbringen, die sicheren Wege mathematischer Analyse zu verlassen
und Erfahrung mit der Interaktion von Computersimulationen und Beobachtung
der realen Welt zu sammeln. Man sollte versuchen, sich darin zu einem
Künstler zu entwickeln, das (selbst)kritische Verhalten des Wissenschaftlers
aber nicht zu verlieren.
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