Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

eineindeutig ist, muss es (wegen der Twistbedingung genau) einen Punkt des
Strahls geben, der in radialer Richtung abgebildet wird (zum Schnittpunkt
des Strahls mit seinem Bild). Betrachte nun die Linie C aller dieser Punkte
und ihr Bild F (C). Wegen der Schnittbedingung müssen diese beiden eine
gerade Anzahl von Schnittpunkten haben.
Nimmt man noch hinzu die Richtungspfeile der Abbildung in der Nähe der
Schnittpunkte, zusammen mit denen der invarianten Randkreise, so wird
klar, dass diese Vektorfelder abwechselnd elliptische und hyperbolische Fixpunkte
charakterisieren.
Der Satz macht über die Twistabbildung nur wenige Voraussetzungen. Das
Hauptproblem in Anwendungen ist die Existenz invarianter Ränder. Bis zum
KAM-Theorem 1963 war nicht klar, ob es diese überhaupt gebe.
Die Anwendung des Satzes von Poincaré und Birkhoff auf beliebige rationale
Windungszahlen bei Poincaré-Abbildungen P lautet folgendermaßen. Angenommen,
es gebe zwei invariante Tori mit irrationalen Windungszahlen W 1
und W 2 > W 1 , wobei im Bereich dazwischen die Twistbedingung gilt. Dann
gibt es eine rationale Zahl p/q mit W 1 < p/q < W 2 . Betrachte nun die Abbildung
P q . Sie dreht den Rand mit W 1 nach links, den mit W 2 nach rechts.
Der Satz garantiert dann die Existenz zweier Fixpunkte von P q . Natürlich
ist es auch möglich (und wird gelegentlich beobachtet), dass nicht nur zwei
q-periodische Orbits existieren, sondern vier oder gar mehr. Es bedarf aber
sehr spezieller, untypischer Störungen, wenn rationale Tori als ganze überleben
sollen.
Da der ungestörte Fall normal parabolisch ist, folgt aus topologischen Betrachtungen
(→ Indextheorie), dass aus zwei Orbits mit Residuen 0 nur zwei
andere entstehen können, deren Residuen sich von 0 ablösen und unterschiedliche
Vorzeichen haben, d. h. einer muss elliptisch, der andere hyperbolisch
sein. Die elliptischen haben intern in ihrer Nähe eine Windungszahl W , die
durch cos 2πW = 1 − 2R gegeben ist; sie variiert von 0 bei R = 0 bis 1/2
bei R = 1. Zwischendurch gibt es Resonanzen mit W = 1/6 (R = 1/4),
W = 1/5 (R = 0.345...), W = 1/4 (R = 1/2) und W = 1/3 (R = 3/4). In der
Nachbarschaft der elliptischen Zentren variiert diese Windungszahl im Allgemeinen,
und wenn sie es tut, kann man auch dort wieder Twist-Abbildungen
( ”
höherer Stufe“) diskutieren und die Sätze von Poincaré-Birkhoff und KAM
erneut benutzen. Spezielle Aufmerksamkeit erfordern nur die Resonanzen mit
W = 1/2 (dort findet, wenn sie durchlaufen wird, eine Periodenverdopplungs-
Bifurkation statt; manchmal hat das Residuum aber bei R = 1 ein Maximum
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