Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Wir haben schon erfahren, dass W (f) rational ist, wenn f einen periodischen
Punkt hat. Es gilt nun der Satz, dass W (f) genau dann irrational ist, wenn
f keinen periodischen Punkt hat.
Ein einsichtiges Beispiel dafür ist die Abbildung f ω (θ) = θ + ω mit irrationalem
ω. Aber gibt es überhaupt echt andere Beispiele, die nicht topologisch
konjugiert sind zu einer solchen Rotation? Da diese Rotationen Orbits produzieren,
die in dem Kreis dicht liegen, sollte man nach Orbits suchen, die
irrational, aber nicht dicht sind. Abbildungen, die solche Orbits liefern, hat
Denjoy konstruiert (Denjoy-Abbildungen). Dabei geht man wie folgt vor, beginnend
mit der Abbildung f ω und irrationalem ω. Wähle ein beliebiges θ 0
und folge dem Orbit θ 1 , θ 2 , .... An jedem dieser Punkte schneide man den
Kreis auf und ersetze den Punkt durch ein kleines Intervall. Wir nennen das
Intervall, das am Punkt θ n = fω n (θ 0 ) eingesetzt wird, I n . Die Längen der
Intervalle l(I n ) wählen wir so, dass
∞∑
n=−∞
l(I n ) < ∞. (111)
Dann ist das Resultat dieser Operation“ wieder ein Kreis. Konkret könnten
”
wir wählen l n = 1/ ( (|n| + 1)(|n| + 2) ) . Die Abbildung f kann nun auf die
Vereinigung der I n fortgesetzt werden, indem man orientierungstreue Diffeomorphismen
h n : I n → I n+1 wählt. Wenn wir die Bezeichnung I n = [a n , b n ]
und I n+1 = [a n+1 , b n+1 ] wählen, kann für h n auf I n etwa
h(x) = a n+1 +
∫ x
a n
(
1 + 6(l n+1 − l n )
l 3 n
)
(b n − t)(t − a n ) dt (112)
gewählt werden. Diese Abbildung hat die Ableitungen h ′ (a n ) = h ′ (b n ) =
1, hat also an den Rändern des Intervalls eine stetige Ableitung, und bei
(a n + b n )/2 einen Wendepunkt, f ′′ = 0. Die zweite Ableitung h ′′ (x) ist an
den Rändern endlich, während die von f ω Null ist; also ist die zusammengesetzte
Abbildung einmal, wenn auch nicht zweimal stetig differenzierbar. Wir
haben die ursprüngliche Abbildung zu einem C 1 -Diffeomorphismus auf dem
neuen Kreis erweitert. Sie hat keine periodischen Punkte (auf dem alten Teil
von vornherein nicht, auf dem neuen deswegen nicht, weil ein Punkt aus I n
nie wieder nach I n zurückkehrt), also muss die Windungszahl irrational sein,
und weil Punkte aus I n nicht dorthin zurückkehren, sind ihre Orbits nicht
dicht.
Die Tatsache, dass die obige Konstruktion keinen C 2 -Diffeomorphismus liefert,
ist kein Zufall, denn es gilt ein Satz von Denjoy, wonach C 2 -Diffeomorphismen
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