Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

• an die Kleinheit der Störungen f, g,
• die ”
Irrationalität“ der Windungszahlen W der invarianten Kreise des
ungestörten Systems und
• die Glattheit der gesuchten invarianten Kreise des gestörten Systems
mit gleicher Windungszahl
solche invarianten Kreise tatsächlich existieren. Diese topologischen Kreise,
wenn es sie gibt, lassen sich darstellen als Kurven γ : R → A mit
( ) θ + p(θ)
γ : θ ↦→
, (66)
2πW + q(θ)
wobei p(θ) und q(θ) periodisch mit 2π sind und ihre Glattheit sich mit einem
vorgegebenen ε durch |p| s + |q| s < ε charakterisieren lässt. Dabei ist mit |p| s
die s-Norm |p| s = max 0≤i≤s ||p (i) || gemeint, mit p (i) die i-te Ableitung. Man
gibt sich also ε > 0 und ein s ∈ N vor und verlangt, dass die entsprechende
Glattheit gegeben sei. Dann wird untersucht, unter welchen Bedingungen an
die Kleinheit und Glattheit der Störungen f, g und an die Windungszahl W
die Existenz invarianter Kreise bewiesen werden kann. Das geschieht im Rahmen
einer klassischen Störungstheorie, die allerdings von Kolmogorov in der
Weise modifiziert wurde, dass die Konvergenz der Störungsreihe, wenn sie
denn überhaupt gegeben ist, ”
superkonvergent“ ist, d. h. in jedem Schritt des
Verfahrens kann man die Ordnung der Terme, die man durch eine kanonische
Transformation wegschafft, verdoppeln (ähnlich wie beim Newton-Verfahren
für die Nullstellensuche von Polynomen in der Nähe der Nullstellen). Moser
konnte für hinreichend irrationale W zeigen, dass es Zahlen δ = δ(ε, s) > 0
und l = l(s) ∈ N gibt, so dass für l-mal stetig differenzierbare Störungen mit
|f| 0 + |g| 0 = max |f| + max |g| < δ die Störungsreihe tatsächlich konvergiert.
(In Mosers ursprünglicher Arbeit wurde l(s) = 90s 2 + 182s + 91 benötigt, so
dass für s = 1 also 363-malige Differenzierbarkeit gefordert wurde.)
Was die Windungszahl W eines invarianten Kreises γ(θ) des gestörten Systems
anbetrifft, so gilt
T ◦ γ(θ) = γ(θ + 2πW ), (67)
d. h. auf diesem Kreis ist die Abbildung T zu einer Rotation mit dem Winkel
2πW konjugiert. Die Frage ist noch, was ”
hinreichende Irrationalität“
von W bedeuten soll. Die Antwort war – wie im Fall der Schröderschen Funktionalgleichung
– die ”
diophantische Bedingung“: es müssen Zahlen ν ≥ 2
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